Der Klassenkalkül

Zusammenfassung

Die bisherige Form des logischen Kalküls ist zur präzisen Darstellung derjenigen logischen Zusammenhänge ausreichend, bei denen die Aussagen als ungetrenntes Ganzes betrachtet werden. Jedoch ist keine Rede davon, daß wir mit dem Aussagenkalkül für die Zwecke der Logik überhaupt auskommen. Zum Beispiel ist sicher das folgende ein Satz, dessen Richtigkeit sich aus rein logischen Gründen ergibt: „Wenn der Löwe ein Raubtier ist und wenn Raubtiere Fleisch fressen, so frißt der Löwe Fleisch.“ Ein anderes Beispiel für einen derartigen Satz wäre: „Wenn die ungeraden Primzahlen alle natürlichen Zahlen umfassen, und wenn eine ungerade Zahl eine natürliche Zahl ist und wenn eine Primzahl eine natürliche Zahl ist, so umfassen die ungeraden Zahlen alle natürlichen Zahlen und umfassen die Primzahlen alle natürlichen Zahlen.“ Würden wir hier „der Löwe ist ein Raubtier“ durch „Ф“, „Raubtiere fressen Fleisch“ durch „Ψ “ und „der Löwe frißt Fleisch“ durch „Γ“ abkürzen, so ließe sich zwar der erste Satz in der Form „Ф ∧ Ψ → Γ“ wiedergeben. Aber das nützt uns nichts, um den logischen Charakter der Aussage zu erkennen, da „Ф ∧ Ψ → Γ“ keine (aussagentheoretische) Tautologie ist, d. h. nicht durch Einsetzung aus einer allgemeingültigen Formel des Aussagenkalküls entsteht. Entsprechend würde sich, falls „Ф“, „Ψ“, „Γ“, „Δ“, „Θ“ die Einzelsätze bezeichnen, sich der zweite Satz durch „Ф ∧ Ψ ∧ Γ → Δ ∧ Θ“ wiedergeben lassen, ohne daß uns das zu einer Einsicht in seinen logischen Charakter verhilft.