Kan-Erweiterungen

Zusammenfassung

Ist M eine echte Teilmenge von C, so läßt sich jede Abbildung t: M → A in eine nichtleere Menge A auf viele Arten auf die gesamte Menge C fortsetzen (erweitern), aber es gibt keine kanonische oder eindeutig bestimmte Methode, um eine derartige Erweiterung zu definieren. Ist jedoch M eine Unterkategorie von C, so besitzt jeder Funktor T: M → A im Prinzip zwei kanonische (oder extremale) “Erweiterungen” von M zu Funktoren L, R: C → A. Diese Erweiterungen lassen sich durch die universelle Eigenschaft gewisser natürlicher Transformationen charakterisieren. Sie brauchen nicht stets zu existieren; ist jedoch M klein und ist A vollständig und covollständig, so existieren sie und lassen sich als gewisse Limites oder Enden darstellen. Diese “Kan-Erweiterungen” sind fundamentale Begriffe in der Theorie der Kategorien. Wir werden mit ihrer Hilfe finden, daß sich jeder fundamentale Begriff auf die übrigen zurückführen läßt. Zu Beginn dieses Kapitels werden Adjungierte mit Hilfe von Limites ausgedrückt; im letzten Abschnitt (§7) zeigen wir, daß sich “alle Begriffe” als Kan-Erweiterungen interpretieren lassen.