Extremaleigenschaften der regulären Polyeder

Zusammenfassung

Auf der Kugelfläche führen die Probleme der dichtesten Kreislagerung und dünnsten Kreisüberdeckung im Fall von 4, 6 oder 12 Kreisen zu Kreisanordnungen, bei denen die Kreismittelpunkte Ecken eines regulären Tetraeders, Oktaeders oder Ikosaeders sind. Dagegen liegen in der günstigsten Anordnung von 8 oder 20 Kreisen die Kreismittelpunkte nicht in den Ecken eines regulären Hexaeders bzw. Dodekaeders. Folglich spielen in den genannten Problemen die regulären Dreieckspolyeder eine ausgezeichnete Rolle. Da aber etwa in der dichtesten Lagerung von 12 kongruenten Kreisen auf der Kugelfläche die Kreisebenen ein reguläres Dodekaeder begrenzen, so gestatten dieselben Probleme eine Formulierung, bei der eben die regulären Dreikantpolyeder ausgezeichnet sind.