Zusammenfassung
Gegenstand dieses Kapitels sind die sog. Darstellungen, d. h. die Homomorphismen einer gegebenen Gruppe G in die linearen Gruppen GL (n, K) (n = 1, 2, ...) über einem gegebenen Körper K. In der ersten Phase der Theorie (Frobenius, Burnside und I. Schur, etwa 1890–1910) war K meistens der komplexe Zahlkörper. Spätere Untersuchungen haben jedoch gezeigt, daß auch für algebraisch abgeschlossene Körper endlicher Charakteristik sich die Theorie weitgehend in gleicher Weise aufbauen läßt, sofern die Charakteristik des Körpers die Ordnung der Gruppe nicht teilt. Letztere Bedingung ist es nämlich, die die grundlegende Halbeinfachheit des Gruppenringes K [G] sicherstellt. Auf den in der sog. modularen Darstellungstheorie behandelten Fall, daß die Charakteristik des Körpers ein Teiler der Gruppenordnung ist, gehen wir in diesem Kapitel nicht ein (siehe dazu Curtis, Reiner [1], Chapter XII). Von der Annahme, daß der Körper algebraisch abgeschlossen ist, kann man sich teilweise befreien (siehe § 11–14) ; dies ist für manche Anwendungen in der Theorie der auflösbaren Gruppen von Bedeutung, wo man durch das Studium der auf den Hauptfaktoren bewirkten Automorphismen zu Darstellungen der Gruppe über Primkörpern kommt.
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Literaturbemerkungen zu Kapitel V
Die Definition 2.1 des Radikals und Satz 2.2 stammen von N. Jacobson. § 4: Der wiedergegebene Beweis des Jacobsonschen Lemmas 4.2 folgt Bourbaki [1], S. 39.
folgt Wielandt [12], wo ein etwas allgemeinerer Satz bewiesen wird; für einen Sonderfall, der sich mit Verlagerung behandeln läßt, vergleiche man Grün [3].
Hilfssatz 8.12 steht in Zassenhaus [3], war im wesentlichen jedoch schon Burnside bekannt (siehe Burnside [8], S. 336). Der Beweis des Hauptsatzes 8.13 ist eine Kombination von Hughes, Thompson [1] und Kegel [2].
steht in geringfügig schwächerer Fassung bereits bei Burnside [8] ; der wiedergegebene Beweis stammt aus Brauer [14].
Hauptsatz 12.9 wird in der modularen Darstellungstheorie aus der Beziehung zwischen der Cartan-Matrix und der Zerlegungsmatrix gewonnen; siehe Curtis, Reiner [1], S. 593. Ein direkter Beweis von 12.11 ohne Verwendung der Konstantenreduktion scheint nicht bekannt zu sein.
folgt V. D. Waerden [3] und 13.3 Powell [1].
Zu diesem Paragraphen vergleiche man Reiner [1].
verdanke ich einer brieflichen Mitteilung von P. Hall.
Die Bedeutung der induzierten Charaktere war schon Frobenius bekannt; siehe Frobenius [1]. Die Bestimmung der Charaktere von Frobeniusgruppen in 16.13 folgt teilweise Feit [1].
Die Behandlung der Sätze 17.12 und 17.13 stützt sich weitgehend auf Vorträge von E. C. Dade.
Hilfssatz 18.10 und den damit geführten Beweis von 18.11 verdanke ich einer mündlichen Mitteilung von E. C. Dade.
Der Beweis von 19.3 folgt Brauer, TATE [1].
Für die Fragestellung dieses Paragraphen vergleiche man auch TsusuKu [1] und [2] und Tamaschke [1] und [2]. Beispiel 20.10 verdanke ich einer brieflichen Mitteilung von H. Wielandt.
Der wiedergegebene Beweis von 21.3 ist der ursprüngliche aus Burnside [8]. Der Beweis von 21.6 ist eine elementarere (allerdings dafür längere) Fassung des Beweises aus ITC, [10].
bis 22.5 folgen Brauer, Fowler [1], 22.6 bis 22.9 Suzuki [7], mit einer Ergänzung in 22.9, Beweisteil j) aus FEIT [5].
Eine Verallgemeinerung der Methode zur Berechnung höherer Kohomologiegruppen findet man in Gruenberg [1]. Die verschränkten Gruppenalgebren werden in Conlon [1] und [2] untersucht.
Weitere Beispiele zu 25.2 a) findet man in B. H. Neumann [1]. Die Folgerung aus dem Satz von Golod-gafarewii5 in 25.2 c) geht auf eine Bemerkung von M. Rosen in Math. Reviews 31, Nr. 4841 (1966) zurück. Die Berechnung der Multiplikatoren der Gruppen SL (2, p!) und PSL (2, p!) steht bereits in Schur [3], dort auch 25.10. Die Bestimmung der Kohomologiegruppen einer Erweiterung 6 eines Normalteilers 4ì mit der Faktorgruppe 6/Q aus Xl und G/9l wird in Lyndon [1] teilweise durchgeführt, liefert aber kein vollständiges Resultat. Eine eingehende Untersuchung der Darstellungsgruppen der symmetrischen und alternierenden Gruppen gibt Schur [5].
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Huppert, B. (1967). Darstellungstheorie. In: Endliche Gruppen I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol 134. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-64981-3_5
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