Die Familie der schlinhten Funktionen. Verzerrungssätze

Zusammenfassung

Wir nennen eine Funktion $\omega = f\left( z \right)$ schlicht in einem Gebiete ℭ der z-Ebene, wenn sie in ℭ jeden Wert a hochstens einmal annimmt, also ℭ eineindeutig auf eine Punktmenge der w-Ebene abbildet. Offenbar ist bei einer in einem endlichen Gebiet ℭ holomorphen und schlichten Funktion notwendig $f'(z) \ne 0\,$ doch ist diese Bedingung im allgemeinen Falle nicht hinreichend (s. 1). Die Eigenschaft der Schlicht-heit ist schwer analytisch voll auszuwerten. Doch fußt auf ihr die Uniformisierungstheorie, so wie sie im nächsten Kapitel aufgebaut wird. Es ist nun eine besondere Technik entwickelt worden, um die Schlichtheit einer Funktion ausnutzen zu konnen. Im Zentrum der Ergebnisse steht der Koebesche Verzerrungssatz. Doch wollen wir uns zunachst mit einigen leichter zugänglichen Sätzen über schlichte Funktionen beschaftigen.