Zusammenfassung
Wenn die Funktion \( \omega = f\left( z \right) \) das Gebiet ℭ auf das Gebiet ℭ* konform abbildet, so ist damit über das Verhalten von \(\omega = f\left( z \right)\) auf dem Rande von ℭ, wenn nicht besondere Annahmen über ℭ bzw. ℭ* gemacht werden, zunächst nichts ausgesagt. So kann z. B. f(z) in einen Punkt des Randes von ℭ holomorph fortsetzbar sein oder auch nieht. Dieser letzte Fall tritt tatsachlich ein. Nehmen wir als Gebiet ℭ das Innere des Einheitskreises und als ℭ* ein Gebiet von einfachem Zusammenhang, dessen Randkurve einmal stetig aber nirgends zweimal differenzierbar ist. Nach dem Riemannschen Abbildungssatz gibt es eine Funktion \(\omega = f\left( z \right)\), die ℭ konform auf ℭ* abbildet.f(z) kann aber in keinem Punkt z 0 des Randes von \( |z|{\kern 1pt} \, < 1 \) holomorph sein. Sonst gabe es eine Umgebung
. so daß f(z) dort auch holomorph ware. Ein in
gelegenes Stuck des Einheitskreises z = eiτ, τ1 ≦ τ ≦ τ2 würde dann abgebildet auf w = f(e iτ), τ1 ≦ τ ≦ τ2 Das ist ein beliebig häufig differenzierbares Kurvenstucℭ welches auf dem Rande von ℭ* liegen müßte, wie wir sogleich sehen werden. Dies ist aber nicht moglich, da der Rand von ℭ* eine nirgends zweimal differenzierbare Kurve sein sollte.
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literatur
Carathéodory, C.: Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve. Math. Ann. 73, 305 (1913).
—Über die Begrenzung einfach zusammenhangender Gebiete. Math. Ann. 73, 323 (1913).
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© 1965 Springer-Verlag, Berlin · Heidelberg
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Behnke, H.C.H., Sommer, F. (1965). Das Verhalten der Abbildungsfunktionen am Rande. In: Theorie der Analytischen Funktionen Einer Komplexen Veränderlichen. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol 77. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-62024-9_41
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