Die Umkehrfunktionen

Zusammenfassung

Will man nach dem Vorbilde der Darstellung einer reellen Funktion $\eta = f\left( \xi \right)$als Kurve in der (ξ, η)-Ebene eine komplexe Funktion $\omega = f\left( z \right)$geometrisch interpretieren, so kann dies nur im vierdimensionalen Raume geschehen, da man für das Argument z und den Funktionswert w jeweils zwei Dimensionen benötigt. Man erhalt dann eine komplexe „Kurve“, die eine zweidimensionale Flache im vierdimensionalen (w, z)-Raum ist. Eine andere Moglichkeit, eine komplexe Funktion geometrisch zu veranschaulichen, besteht darin, die Zuordnung $\omega = f\left( z \right)$ als Abbildung eines Bereiches der z-Ebene in einen Bereich der w-Ebene zu deuten (s. I, 5 u. 7). Wir sprechen von den Bildern in der w-Ebene, die durch $\omega = f\left( z \right)$ von Punkten der z-Ebene geliefert werden. Wird die Abbildung durch eine holomorphe Funktion vermittelt, so nennen wir sie eine holomorphe Abbildung. Bei diesen Abbildungen weisen die Beziehungen zwischen den Originalpunkten in der z-Ebene und den Bildpunkten in der w-Ebene wesentliche Eigenschaften auf, mit denen wir uns jetzt beschaftigen werden.