Unendliche Reihen und andere Grenzprozesse.

Zusammenfassung

Die geometrische Reihe, die TAYLORsche Reihenentwicklung und eine Anzahl spezieller Beispiele, die uns in diesem Buche bisher begegnet sind, legen es nahe, von einem etwas allgemeineren Standpunkte aus diejenigen besonderen Grenzwertbildungen zu studieren, die man als unendliche Reihen bezeichnet. Im Prinzip läβt sich jeder Grenzwert

$$ = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {s_n}$$

als unendliche Reihe schreiben; wir brauchen, wenn n etwa von 1 an läuft, nur s_n = s_n−1 + a_n (für n>1) zu setzen und s₁ = a₁ zu wählen, dann ist

$${s_n} = {a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n},$$

, und der Wert S erscheint als Grenzwert der Summe s _n aus n Gliedern. Man drückt diese Tatsache aus, indem man sagt: S ist die “Summe der unendlichen Reihe“

$${a_1} + {a_2} + {a_3} + \cdots $$

.