Maximalglied und Zentralindex, Maximalbetrag und Nullstellenanzahl

Zusammenfassung

Es seien a₀, a₁, a₂, …, a _n ,… komplexe Zahlen, die nicht sämtlich verschwinden. Die Potenzreihe

$$ f\left( z \right) = {a_0} + {a_1}z + {a_2}{z^2} + \cdots + {a_n}{z^n} + \cdots $$

besitze den Konvergenzradius R,R>0. Wenn R = ∞ ist, heiβt f(z) eine ganze Funktion. Es sei 0 ≦ r < R; dann strebt die Zahlenfolge

$$ \left| {{a_o}} \right|,\;\left| {{a_1}} \right|r,\;\left| {{a_2}} \right|{r^2},\;.\;.\;.,\;\left| {{a_n}} \right|{r^n},\;.\;.\;. $$

gegen 0, also gibt es darin ein gröβtes Glied, das Maximalglied, dessen Wert mit µ(r) bezeichnet wird. Es ist somit

$$ \left| {{a_n}} \right|{r^n}\, \leqq \mu \left( r \right) $$

für n= 0, 1, 2, 3,…, r ≧ 0 [I, Kap. 3, § 3].