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Optik pp 45-110 | Cite as

Geometrische Optik

  • Max Born
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Zusammenfassung

Die Gesetze der Fortpflanzung ebener Wellen in homogenen durchsichtigen Körpern, die wir kennengelernt haben, genügen zur näherungsweisen Behandlung solcher Lichtvorgänge, bei denen die Wellenfronten nicht mehr streng, aber nahezu eben sind; „nahezu“ bedeutet dabei, daß die Krümmung der Wellenfläche vernachlässigt werden kann in Bereichen, deren Lineardimensionen groß sind gegen die Wellenlänge.

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Literatur

  1. 1.
    Siehe A. Sommerfeld u. J. Runge. Ann. Physik (4) Bd. 35 (1911) S. 277. Die in dieser Arbeit entwickelte Methode wird im folgenden mehrfach benutzt.Google Scholar
  2. 1.
    In der Sprache der Mathematik ist (9) die Gleichung der zur partiellen Differentialgleichung (5) gehörigen Charakteristiken und beschreibt exakt die Fortpflanzung von Unstetigkeiten der Lösungen von (9). Für die geometrische Optik kommt es aber nicht auf Unstetigkeiten an, sondern auf die Phasen periodischer Lösungen; diesen Zusammenhang zeigt unsere Ableitung, die allerdings nicht den Forderungen mathematischer Strenge (Fehlerabschatzung) genügt.Google Scholar
  3. 1.
    Die Krümmung der Kurve ist gegeben durch |d \(\mathfrak{s}\)|/ds (s. Fig. 16).Google Scholar
  4. 2.
    Statt dessen kann man dieses Gesetz auch durch Grenzübergang (von einer stetigen Verteilung n zu einem Sprung von n) aus § 14 (10) erhalten, muß dann aber die durchaus nicht selbstverständliche Annahme machen, daß grad L an der Grenze stetig bleibt.Google Scholar
  5. 1.
    Ähnliche Minimalsätze hat man in vielen Gebieten der Physik zur knappsten Formulierung der Gesetze verwendet, z. B. in der Mechanik das Prinzip der kleinsten Wirkung in seinen mannigfachen Formen. Zur systematischen Behandlung solcher Minimalprobleme dienen die Methoden der Variationsrechnung. Die im folgenden vorkommenden Beweise lassen sich zum Teil auf viel allgemeinere Fälle übertragen.Google Scholar
  6. 1.
    Siehe etwa W. Blaschke: Vorlesungen über Differentialgeometrie Bd. 1, 3. §§ 41–44. Berlin 1930.Google Scholar
  7. 1.
    K. Weierstrass: Math. Werke. Bd. 3 S. 175.Google Scholar
  8. 1.
    G. B. Amici: Ann. de chim. et phys. (3) Bd. 12 (1844) S. 117.Google Scholar
  9. 1.
    J. C. Maxwell: Quart. J. pure & appl. Math. Bd. 2 (1858) S. 233; Sci. Pap. Bur. Stand. Bd. 1 S. 271.Google Scholar
  10. 2.
    H. Bruns: Das Eikonal. Abh. kgl. sächs. Ges. Wiss., math.-phys. Kl. Bd. 21 (1895) S. 370; F. Klein: Z. Math. u. Physik Bd. 46 (1901) S. 376; Ges. Abh. Bd. 2 S. 607; H. Liebmann: Sitzgsber. bayer. Akad. Wiss., Math.-naturw. Abt. 1916 S. 183. Eine zusammenfassende Darstellung bei H. Boegehold in dem Werke: S. Czapski u. O. Eppenstein: Grundzüge der optischen Instrumente nach Abbe, 3. Aufl. S. 213. Leipzig 1924.Google Scholar
  11. 3.
    C. Carathéodory: Sitzgsber. bayer. Akad. Wiss., Math.-naturw. Abt. 1926 S. 1.Google Scholar
  12. 1.
    Die Worte Brennpunkt, Brennfläche haben hier in der Geometrie der Abbildung also eine andere Bedeutung als früher bei der Betrachtung optischer Strahlenbüschel, wo sie sich auf den Schnitt benachbarter Strahlen bezogen (Kaustik).Google Scholar
  13. 1.
    Zum ausführlichen Studium sei verwiesen auf das Werk: S. Czapski u. O. Eppenstein: Grundzüge der Theorie der optischen Instrumente (nach Abbe). 3. Aufl. Leipzig 1924.Google Scholar
  14. 2.
    Die Gedanken Hamiltons sind für die neueste Entwicklung der Mechanik, die Quantenund Wellenmechanik, geradezu ausschlaggebend geworden.Google Scholar
  15. 3.
    W. R. Hamilton: Trans. Irish Acad. Bd. 15 (1828) S. 69; Bd. 16 (1830) S. 3, 93; Bd. 17 (1837) S. 1.Google Scholar
  16. 1.
    H. Bruns: Das Eikonal. Leipziger Sitzgsber. Bd. 21 (1895) S. 321. Als Buch bei S. Hirzel, Leipzig 1895.Google Scholar
  17. 2.
    F. Klein: Über das Brunssche Eikonal. Z. Math. u. Physik Bd. 46 (1901); Ges. Abh. Bd. 2 S. 603.Google Scholar
  18. 1.
    K. Schwarzschild: Untersuchungen zur geometrischen Optik. Astron. Mitt. kgl. Sternwarte zu Göttingen, Teil I, II, III (1905). Weitergeführt von A. Kohlschütter: Die Bildfehler 5. Ordnung optischer Systeme. Diss. Göttingen 1908.Google Scholar
  19. 1.
    Vorausgesetzt ist dabei, daß der Strahl von P 0 nach P 1 in ein Strahlenfeld eingebettet werden kann (s. § 15 S. 51, 52).Google Scholar
  20. 1.
    C. F. Gauss: Dioptrische Untersuchungen. Abh. kgl. Ges. Wiss. zu Göttingen Bd. 1 (1843); Werke Bd. 5 S. 245.Google Scholar
  21. 1.
    Das negative Vorzeichen in den Beziehungen (5) hat folgenden Grund: die Grenzwerte von a 0, a 1 bedeuten die in der Richtung der Lichtfortpflanzung positiv gezählten Abstände der Brennpunkte vom Scheitel (Schnittpunkt der Achse mit der Kugel), in den die Hauptpunkte fallen; nach den früheren Definitionen (§ 20) aber sind umgekehrt die Brennweiten als die Abstände der Hauptpunkte von den Brennpunkten erklärt.Google Scholar
  22. 1.
    Gewöhnlich schreibt man darin alle Glieder mit dem Pluszeichen, indem man nur die Beträge ins Auge faßt.Google Scholar
  23. 1.
    Siehe etwa Müller-Pouillets Lehrbuch der Physik, 10. Aufl. Bd. 2: Die Lehre von der strahlenden Energie, von Otto Lummer, 3. Kap. Braunschweig 1907.Google Scholar
  24. 1.
    Die Lehre von der Strahlbegrenzung ist von E. Abbe geschaffen [Jena. Z. Naturwiss. Bd. 6 (1871) S. 263] und von M. v. Rohr vervollkommnet worden [Zentr.-Ztg. Opt. Mech. Bd. 41 (1920) S. 145, 159, 171].Google Scholar
  25. 1.
    Weitere Literatur in der schon zitierten Abhandlung von A. Kohlschütter: Die Bildfehler 5. Ordnung. usw. Diss. Göttingen 1908.Google Scholar
  26. 1.
    Der Einfluß der Deformationen b ist von Seidel nicht berücksichtigt, indessen von späteren Autoren hinzugefügt worden (vgl. v. Rohr: Die Bilderzeugung in optischen Instrumental, S. 338. Berlin 1904).Google Scholar
  27. 1.
    A. Kohlschütter: Inaug.-Diss. Göttingen 1908.Google Scholar
  28. 2.
    Von den zahlreichen Abhandlungen A. Gullstrands nennen wir nur zwei: 1. Optische Systemgesetze zweiter und dritter Ordnung (Kgl. Svenska Vetenskaps akad. Handl. Bd. 63 Nr 13, Stockholm 1924), und 2. eine gemeinverständliche Übersicht „Einiges über optische Bilder“ [Naturwiss. 14. Jg. (1926) S. 653]. Ausführliche Literaturangaben findet man indem zitierten Werk von Czapski u. Eppenstein.Google Scholar
  29. 3.
    M. Herzberger: Strahlenoptik. Berlin 1931. In diesem Buch wird Schwarzschild nicht erwähnt, wohl weil er als Astronom nicht der optischen Zunft angehörte.Google Scholar
  30. 1.
    Siehe z. B. M. v. Rohr: Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten. Berlin 1904; A. König: Geometrische Optik, Leipzig 1929.Google Scholar
  31. 2.
    Die moderne Theorie des Auges ist am meisten von dem eben genannten Gullstrand gefördert worden. Siehe etwa seine Darstellung in der 3. Auflage des Handbuchs der physiol. Optik von Helmholtz.Google Scholar

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1972

Authors and Affiliations

  • Max Born

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