Eine Verallgemeinerung des Bézoutschen Theorems

Zusammenfassung

Um die Lösungsklassen (Klassen proportionaler Lösungen) eines Systems von n homogenen Gleichungen f ₁ = 0, …, f _n = 0 der Gradzahlen m ₁,…, n _n , mit n + 1 Unbekannten x ₀, …, x _n , zu finden, bildet man die „u- Resultante“ des Gleichungssystems, d. h. die Resultante der Formen f ₁, …, f _n und einer allgemeinen Linearform Σ u _k x _k . Die u- Resultante hat als Funktion der u _i den Grad $\mathop{{II}}\limits_{1}^{n} {{m}_{i}}$ und zerfällt (in einem geeigneten Erweiterungskörper des Rationalitätsbereichs der Koeffizienten) in Linearfaktoren Σ u _k ξ ^(a) _k . Im allgemeinen, das heißt wenn die Formenkoeffizienten Unbestimmte sind, sind diese Linearfaktoren alle verschieden; für spezielle Werte können aber vielfache Faktoren vorkommen; oder es kann vorkommen, daß die u- Resultante identisch verschwindet, nämlich dann, wenn unendlich viele Lösungsklassen vorhanden sind. Sehen wir von dem letzten Fall ab, so repräsentieren die Koeffizienten ξ ^(a)₀ , …, ξ ^(a) _n eines jeden Linearfaktors eine Lösungsklasse. Ein μ- facher Linearfaktor gibt eine „Lösung der Multiplizität μ“. Die Summe der Multiplizitäten der Lösungsklassen¹) ist somit $\mathop{\prod }\limits_{1}^{n} {{m}_{i}}$; dies ist der Satz von Bézout in moderner Gestalt²). Wie man sieht, gibt hier die u- Resultante das Mittel, die Multiplizitäten so zu definieren, daß die „Erhaltung der Anzahl“ gilt: die Anzahl der Lösungen im „allgemeinen“ Fall ist gleich der Summe der Multiplizitäten im Spezialfall.