Divisorenklassen in algebraischen Funktionenkörpern

Zusammenfassung

H. Hasse hat eine arithmetische Theorie der Divisorenklassen eines algebraischen Funktionenkörpers einer Veränderlichen über einem beliebigen vollkommenen Konstantenkörper Ω entwickelt¹). Bei einigen für die Theorie des Abelschen Funktionenkörpers grundlegenden Sätzen ist Hasse jedoch nicht zur Durchführung der Beweise gekommen, hat aber die Erwartung ausgesprochen, daß diese Beweise sich aus der von mir gegebenen Begründung der algebraischen Geometrie ergeben würden. In der Tat ist es mir gelungen, nicht nur die fraglichen Beweise mit meinen Methoden zu erbringen, sondern darüber hinaus noch ein weiteres Problem zu lösen, das sich aus den Hasseschen Fragestellungen zwangsläufig ergab, nämlich die Konstruktion einer Klassenmannigfaltigkeit,deren Punkte eineindeutig den Divisorenklassen nullten Grades des gegebenen algebraischen Funktionenkörpers entsprechen. Die Klassenmannigfaltigkeit ist ein ausgezeichnetes projektives Modell des Abelschen Funktionenkörpers; ihre Punkte übernehmen die Rolle der Hasseschen „X-Punkte“ (Hasse § 7, 7). Die Hasseschen Sätze § 6, 5 und § 8, 2 aber, deren Beweise hier gegeben werden sollen, drücken im wesentlichen aus, daß den algebraischen Operationen, die man mit Divisorenklassen vornehmen kann, auch algebraische Operationen auf der Klassenmannigfaltigkeit entsprechen. Diese Operationen sind: die Addition von Klassen X + Y = Z und die komplexen Multiplikationen X = µ Y, die aus den algebraischen Korrespondenzen des Funktionenkörpers entstehen.