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Zusammenfassung

Die Quantorenlogik erster Stufe nimmt seit langem eine vorrangige Stellung ein gegenüber anderen logischen Systemen, wie z. B. Logiken höherer Stufen; Typenlogiken; abgeschwächten Teilsystemen der Quantorenlogik; Junktorenlogiken mit Quantifikationen über Satzvariablen; Logiken mit zusätzlichen Satzoperatoren, wie die (meisten) Modallogiken, etc. Und zwar ist dies sowohl dann der Fall, wenn die Logik den Gegenstand der Untersuchung bildet, als auch überall dort, wo sie als Hilfsmittel zur Formulierung von Theorien, insbesondere mathematischer Theorien, dient. Das eine findet seinen Niederschlag darin, daß die Quantorenlogik erster Stufe in fast allen Logikbüchern bevorzugt behandelt wird, insbesondere in solchen mit Lehrbuchcharakter. Das andere äußert sich vor allem in der Tatsache, daß an der Formalisierung mathematischer Theorien, wie auch der Mengenlehre, interessierte Logiker immer häufiger versuchen, die betreffenden Theorien als Theorien erster Stufe zu rekonstruieren.

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Literature

  1. 1.
    Der Zeichenbegriff ist hier so aufzufassen, wie er bei den semantischen Strukturen eingeführt wurde.,Zeichen‘und,Symbol’werden synonym verwendet.Google Scholar
  2. 2.
    Den Redeteil,abstrakt‘innerhalb der Wendung,abstraktes logisches System’lassen wir der Einfachheit halber häufig fort.Google Scholar
  3. 3.
    Da die Bedingungen (2) und (3) für (II) und (III) nach Wahl von U′ und B′ eng verwandt sind, wie wir später noch genauer sehen werden, genügt es, hier die zu (II)(1) führenden und mit (III) (1) beginnenden Übergänge zu berücksichtigen.Google Scholar
  4. 4.
    Im Lemma 15.4 werden wir die analogen Bestimmungen mit dem Index,m‘versehen, da es sich dort um m-Isomorphie handeln wird.Google Scholar
  5. 5.
    Gp‘und,p‘designieren also dieselbe Menge. Als Designat von,G‘kann diejenige Funktion aufgefaßt werden, die einer Funktion aus c(P) ihre repräsentierende Relation zuordnet.Google Scholar
  6. 6.
    Man beachte, daß c(U) = A, und ebenso, daß c(V) = B, ferner daß c(Gp) als Graph aufgefaßt wird, also eine zweistellige Relation ist.Google Scholar
  7. 7.
    Genauer natürlich: die Menge {p|p∈c(P) <x, p> ∈ c(I)}.Google Scholar
  8. 8.
    Statt,Ix‘müßten wir ganz exakt eigentlich,Ic(x)‘schreiben.Google Scholar
  9. 9.
    Man beachte, daß bereits aufgrund von (a) gilt und daher nicht ausdrücklich angeführt werden mußte.Google Scholar
  10. 10.
    Wir weisen nochmals darauf hin, daß es sich bei dieser Konjunktionsbildung sowie den Objekten ψ U und (¬ψ)V um die gemäß Boole(L) und Relativier(L) zulässigen, u. U. mehrdeutigen abstrakten Sätze handelt. Analog beruht die Verwendung von Quantoren auf L IL.Google Scholar
  11. 11.
    Strenggenommen sind die Terme der Form f n d nur Terme von L I, für die kein abstraktes. Analogen in L gegeben zu sein braucht. Es genügt völlig, daß wir wegen L IL zu den LI-Sätzen f n +1 d<f n d modellgleiche abstrakte Sätze zur Verfügung haben. Die abstrakte Konjunktion dieser abstrakten Sätze ist die Aussage(nmenge), die wir zu & hinzufügen.Google Scholar
  12. 12.
    S ist natürlich wieder die ganz zu Beginn des Beweises eingeführte relationale Zeichenmenge.Google Scholar
  13. 13.
    Wir erinnern nochmals daran, daß die eigentlich nur für nichtlogische Konstanten definierte Designationsfunktion einer Struktur, wie hier e, für Terme als kanonisch erweitert aufzufassen ist. Also: e(f n d) = e(f)(e(f n -1 d)) = e(f)(e(f)(… e(d)…).Google Scholar
  14. 14.
    Bei gegebenen S und 21 sind Sr sowie W so zu definieren wie in Kap. 14. Dagegen ist bei gegebenem (p unter einem qf dasselbe zu verstehen wie in der Bedeutungserklarung von Ers(2).Google Scholar
  15. 15.
    Man mache sich klar, daß jede relational Struktur als relationales Korrelat (£r einer Struktur (£ aufgefaBt werden kann.Google Scholar
  16. 16.
    Wir beziehen uns dabei auf die im folgenden als zweite Fassung dieses Lemmas bezeichnete Version.Google Scholar
  17. 17.
    Der Sache nach wäre es angemessener, die Reihenfolge der beiden Lemmata 15.3 und 15.4 umzukehren. Denn dann könnte die indirekte Beweisannahme von Th. 15.2 direkt in das erste Lemma eingesetzt und durch einen Kettenschluß zur Konklusion des zweiten Lemmas ubergegangen werden. Dafi die andere Reihenfolge beibehalten wird, hat seinen alleinigen Grund darin, daß der Beweis von Lemma 15.3 direkt an den vorangehenden Beweis von Th. 15.1 anknüpft, der beim Leser noch in frischer Erinnerung sein dürfte.Google Scholar
  18. 18.
    Ähnlich wie die Verwendung des Satzes von Fraissé im ersten Satz von Lindstrom bildet hier die Anwendung des Satzes von Trachtenbrot im Prinzip einen Routineschritt (und keinen Kunstgriff) im Beweis. Einen Kunstgriff stellt dagegen die Anwendung von X→(φ*)W im folgenden Hilfssatz dar.Google Scholar
  19. 19.
    Tatsächlich werden wir, um den Gedankengang nicht zu unterbrechen, die Details des Beweises dieses Hilfssatzes ganz an den Schluß stellen.Google Scholar
  20. 20.
    Daraus wird bereits deutlich, dafi der jetzige Beweis mit dem dortigen keine inhaltliche Ähnlichkeit aufweist. Die dortige Aussage (III) war ja das Ergebnis eines indirekten Beweisansatzes fur die Gultigkeit der Voraussetzung von Lemma 15.2; und als letzter Schritt dafiir wurde dort der Satz von Fraissé benützt. Demgegeniiber sind jetzt (a) bis (c) unsere Annahmen. Weder Lemma 15.1 noch Lemma 15.2 noch der Satz von Fraissé werden daher diesmal benützt.Google Scholar
  21. 21.
    Bei einem echten Vorgänger einer Zahl sind Argument und Wert von c*(f) für diese Zahl nicht identisch. (Es sei daran erinnert, daß c(f) so definiert war, daB es ab 0 stationar wird; dies gilt auch fiir c*(f): c*(f)(0) = 0.)Google Scholar
  22. 22.
    Ein Analogon zu Teil C des Beweises zum ersten Satz von Lindstrom entfallt dagegen, da (a) Kompakt(Q) diesmal nicht vorausgesetzt wird und wir es (b) nicht mit einer unendlichen Satzmenge zu tun haben.Google Scholar
  23. 23.
    Im vorliegenden Beweis wird von der Voraussetzung Regular(Q) nur diese Teilaussage Boole(2) verwendet. Das Lemma lieBe.sich daher trivialerweise entsprechend verstarken.Google Scholar
  24. 24.
    Strenggenommen wird φ natürlich als Adjunktion über einem Repräsentantensystem der Aquivalenzklassen der folgenden Menge gebildet.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1984

Authors and Affiliations

  • Wolfgang Stegmüller
    • 1
  • Matthias Varga von Kibéd
    • 1
  1. 1.Seminar für Philosophie, Logik und WissenschaftstheorieUniversität MünchenMünchen 22Germany

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