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General Theory of Multidimensional Residues

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Introduction to Complex Analysis

Part of the book series: Encyclopaedia of Mathematical Sciences ((EMS,volume 7))

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Abstract

Let X be a Riemann surface and let ω be a meromorphic differential form of degree 1 on X; in the neighborhood of a point where z is a local coordinate, we have ω = f(z)dz, where f is a meromorphic function. Let Y = {a l } l∈I be the set of poles of ω, wnd res a j (ω) the Cauchy residue of ω at a j . Then, for J a finite subset of I, if for any j ∈ J, γ j is a positively oriented circle whose center is a j and if which γ j is the boundary does not meet Y in any point different from a j and if (n j ) j∈J is a family of elements of ℤ, ℝ or ℂ, we have the residue formula.

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References

  1. Ajzenberg, L., Yuzhakov, A.P.: Integral Representations and Residues in Multidimensional Complex Analysis. Nauka, Novosibirsk 1979 [Russian]

    MATH  Google Scholar 

  2. Ajzenberg, L., Yuzhakov, A.P.: Integral Representations and Residues in Multidimensional Complex Analysis. Am. Math. Soc., Providence, R.I. 1983. Zbl. 445.32002

    MATH  Google Scholar 

  3. Atiyah, M.F., Hodge, W.V.D.: Integrals of the second kind on an algebraic variety. Ann. Math., II. Ser. 62, 56–91 (1955). Zbl. 68,344

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  4. Baum, P.F., Bott, R.: On the zeros of meromorphic vector fields. Essays on topology and related topics, (Mémoires dédiés à G. de Rham), 29–47, Springer-Verlag 1970. Zbl. 193,522

    Google Scholar 

  5. Baum, P.F., Cheeger, J.: Infinitesimal isometries and Pontryagin numbers. Topology 8, 173–193 (1969). Zbl. 179,288

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  6. Bloom, T., Herrera, M.: De Rham cohomology of an analytic space. Invent. Math. 7, 275–296 (1969). Zbl. 175,373

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  7. Bott, R.: Vector fields and characteristic numbers. Mich. Math. J. 14, 231–244 (1967). Zbl. 145,438

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  8. Bott, R.: A residue formula for holomorphic vector fields. J. Differ. Geom. 1, 311–330 (1967). Zbl. 179,288

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  9. Bredon, G.E.: Sheaf theory. Mac-Graw Hill series in higher Mathematics. 1967. Zbl. 158,205

    MATH  Google Scholar 

  10. Bucari, N.D., Coleff, N.R., Paenza, A.A.: Residual currents in the non complete intersection case. Preprint 1983

    Google Scholar 

  11. Carrell, J., Lieberman, D.: Holomorphic vector fields and Kähler manifolds. Invent. Math. 21, 303–309 (1973). Zbl. 253.32017 (Zbl. 258.32013)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  12. Coleff, N.R., Herrera, M.: Les courants résiduels associés à une forme méromorphe. Lect. Notes Math. 633, Springer-Verlag 1978. Zbl. 371.32007

    Google Scholar 

  13. Coleff, N.R., Herrera, M., Lieberman, D.: Algebraic cycles as residues of meromorphic forms. Math. Ann. 254, 73–87 (1980). Zbl. 435.14002 (Zbl. 457.14006)

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  14. Darchen, J.C.: Homologie des ensembles sous-analytiques. CR. Acad. Sci., Paris, Sér. A 283, 99–102 (1976). Zbl. 335.32004

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  15. Dolbeault, P.: Formes différentielles et cohomologie sur une variété analytique complexe. Ann. Math., II. Ser. 64, 83–130 (1956). Zbl. 72,406;

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  16. Dolbeault, P.: Formes différentielles et cohomologie sur une variété analytique complexe. Ann. Math., II. 65, 282–330 (1957). Zbl. 89,380

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  17. Dolbeault, P.: Theory of residues and homology. Ist. Naz. di alta Mat., Symp. Math. 3, 295–304 (1970). Zbl. 193,523

    MathSciNet  Google Scholar 

  18. Dolbeault, P.: Résidus et courants. C.I.M.E., Sept. 1969 (Questions on algebraic varieties). Zbl. 201,539; Sem. Bucarest, Sept. 1969 (Espaces analytiques), 39–56 (1971). Zbl. 238.32009

    Google Scholar 

  19. Dolbeault, P.: In Séminaire P. Lelong (1969, 1970, 1971), Lect. Notes Math. 116, 152–163 (1969). Zbl. 201, 259;

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  20. Dolbeault, P.: In Séminaire P. Lelong (1969, 1970, 1971), Lect. Notes Math. 205, 56–70. Zbl. 229.32.005;

    Google Scholar 

  21. Dolbeault, P.: In Séminaire P. Lelong (1969, 1970, 1971), Lect. Notes Math. 232–243 (1971). Zbl. 218.32003;

    Google Scholar 

  22. Dolbeault, P.: In Séminaire P. Lelong (1969, 1970, 1971), Lect. Notes Math. 275, 14–26 (1972). Zbl. 239.32007. Springer-Verlag

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  23. Dolbeault, P.: Valeurs principales sur un espace analytique. Conv. di Geometria, Milano 1971, Acad. Naz. Lincei, 1973, 139–149

    Google Scholar 

  24. Dolbeault, P.: Valeurs principales et opérateurs différentiels semi-holomorphes. Coll. inter. CNRS No. 208, 1972, Fonctions analytiques…, Gauthiers-Villars, 1974, 35–50. Zbl. 301.32009

    Google Scholar 

  25. Dolbeault, P.: Theory of residues in several variables. Global Analysis and its applications, 1972, Inter. Atomic energy agency Vienna, Vol. II, 1974, 74–96

    Google Scholar 

  26. Dolbeault, P., Poly, J.: Differential forms with subanalytic singularities; integral cohomology; residues. Proc. Symp. Pure Math. 30, part I., A.M.S., Providence, R.I. 1975, 255–261 (1977). Zbl. 354.32016

    Google Scholar 

  27. Gómez, F.: A residue formula for characteristic classes. Topology 21, 101–124 (1982). Zbl. 469.57030

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  28. Griffiths, P.A.: Some results on algebraic manifolds. Algebr. Geom., Bombay Colloq., 93–191, Oxford 1969. Zbl. 206.498 24.

    Google Scholar 

  29. Griffiths, P.A.: Variations on a theorem of Abel. Invent. Math. 35, 321–390 (1976). Zbl. 339.14003

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  30. Griffiths, P.A., Harris, J.: Principles of algebraic geometry. Wiley, New York 1978. Zbl. 408.14001

    MATH  Google Scholar 

  31. Grothendieck, A.: Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2). Adv. Stud. Pure Math. 2, 1968. Zbl. 197,492

    Google Scholar 

  32. Grothendieck, A.: Local cohomology. Lect. Notes Math. 41, Springer-Verlag 1967. Zbl. 185,492

    MATH  Google Scholar 

  33. Grothendieck, A.: On the de Rham cohomologie of algebraic varieties. Publ. Math., Inst. Hautes Etud. Sci. 29, 95–103 (1966). Zbl. 145,176

    Google Scholar 

  34. Hartshorne, R.: Residues and Duality. Lect. Notes Math. 20, Springer-Verlag 1966. Zbl 212,261

    MATH  Google Scholar 

  35. Herrera, M.: Integration on a semi-analytic set. Bull. Soc. Math. Fr. 94, 141–180 (1966). Zbl. 158,206

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  36. Herrera, M.: Résidus multiples sur les espaces complexes. Journées complexes de Metz (fév. 1972), I.R.M.A., Univ. Louis Pasteur, Strasbourg 1973

    Google Scholar 

  37. Herrera, M.: Les courants résidus multiples. Journées de géométrie analytique complexe de Poitiers, Juin 1972, Bull. Soc. Math. Fr., Suppl. Mém. No. 38, 27–30 (1974). Zbl. 293.32007

    Google Scholar 

  38. Herrera, M., Lieberman, D.: Residues and principal values on complex spaces. Math. Ann. 194, 259–294 (1971). Zbl. 224,32012

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  39. Hironaka, H.: Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero. Ann. Math., II. Ser. 79, 109–326 (1964). Zbl. 122,386

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  40. Hironaka, H.: Subanalytic sets. Number theory, Algebr. Geom., Commut. Algebra, in honour of Y. Akizuki, Kinokuniya, Tokyo, 453–493 (1973). Zbl. 297.32008

    Google Scholar 

  41. Hironaka, H.: Triangulation of algebraic sets. Algebr. Geom., Proc. Symp. Pure Math. 29, A.M.S., 165–185, Providence, R.I. 1975. Zbl. 332.14001

    Google Scholar 

  42. Hörmander, L.: Fourier integral operators. Acta Math. 127, 79–183 (1971). Zbl. 212,466

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  43. King, J.R.: A residue formula for complex subvarieties. Proc. Carolina Conf. Holomorphic mappings, Chapel Hill, N.C., 43–56 (1970). Zbl. 224.32009

    Google Scholar 

  44. King, J.R.: Global residues and intersections on a complex manifold. Trans. Am. Math. Soc. 192, 163–199 (1974). Zbl. 301.32005

    Article  MATH  Google Scholar 

  45. King, J.R.: Log. complexes of currents and functional properties of the Abel-Jacobi map. Duke Math. J. 50, 1–53 (1983). Zbl. 526,32011

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  46. Kodaira, K.: The theorem of Riemann-Roch on compact analytic surfaces. Am. J. Math. 73, 813–875 (1951). Zbl. 54,64

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  47. Kodaira, K.: The theorem of Riemann-Roch for adjoint systems on 3–dimensional algebraic varieties. Ann. Math., II. Ser. 56, 298–342 (1952). Zbl. 48,381

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  48. Laurent-Thiebaut, C.: Produits de courants et formule des résidus. Bull. Soc. Math., II. Ser. 105, 113–158 (1981). Zbl. 464.58005

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  49. Lelong, P.: Intégration sur un ensemble analytique. Bull. Soc. Math. Fr. 85, 239–262 (1957). Zbl. 79,309

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  50. Leray, J.: Le calcul différentiel et intégral sur une variété analytique complexe (Problème de Cauchy III). Bull. Soc. Math. Fr. 87, 81–180 (1959). Zbl. 199,412

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  51. Loeser, F.: Quelques conséquences locales de la théorie de Hodge, preprint, Centre Math. Ecole polytechnique, Déc. 1983

    Google Scholar 

  52. Lojasiewicz, S.: Triangulation of semi-analytic sets. Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Sci. Fis. Mat., III. Ser. 18, 449–474 (1964). Zbl. 128,171

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  53. Malgrange, B.: Ideals of differentiable functions. Tata Institute, Bombay n°3, Oxford Univ. Press 1966. Zbl. 177, 179

    MATH  Google Scholar 

  54. Norguet, F.: Sur la théorie des résidus. C.R. Acad. Sci., Paris 248, 2057–2059 (1959). Zbl. 133,41

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  55. Norguet, F.: Dérivées partielles et résidus de formes différentielles sur une variété analytique complexe. Sémin. Anal. P. Lelong l’958–59, No. 10 (1959), 24 pages. Zbl. 197,69

    Google Scholar 

  56. Norguet, F.: Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes et sur le calcul des résidus. C.R. Acad. Sci., Paris 258, 403–405 (1964). Zbl. 128,78

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  57. Norguet, F.: Sémin. P. Lelong (1970), Lect. Notes Math. 205, 34–55, Springer-Verlag 1971. Zbl. 218.32004

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  58. Picard, E.: Sur les intégrales des différentielles totales de troisième espèce dans la théorie des surfaces algébriques. Ann. Ec. Norm. Supér. 1901. Zbl. 32,419

    Google Scholar 

  59. Poincaré, H.: Sur les résidus des intégrales doubles. Acta Math. 9, 321–380 (1887). Zbl. 19, 275

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  60. Raby, G.: Un théorème de J. Leray sur le complémentaire d’un sous-ensemble analytique complexe. C.R. Acad. Sci., Paris, Sér. A 282, 1233–1236 (1976). Zbl. 353.32013

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  61. Raby, G.: Formes méromorphes et semi-méromorphes sur une surface analytique complexe. CR. Acad. Sci., Paris, Sér. A 287, 125–128 (1978). Zbl. 416.32003

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  62. Robin, G.: Formes semi-méromorphes et cohomologie du complémentaire d’une hypersurface d’une variété analytique complexe. CR. Acad. Sci., Paris, Sér. A 272, 33–35 (1971). Zbl. 207,380;

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  63. Robin, G.: Sém. P. Lelong (1970), Lect. Notes Math. 205, 204–215 (1971). Zbl. 222.32005; Springer-Verlag

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  64. De Rham, G.: Sur la notion d’homologie et les résidus d’intégrales multiples. Ver. Int. Math. Kongress Zürich, 1932, 195

    Google Scholar 

  65. De Rham, G.: Relations entre la topologie et la théorie des intégrales multiples. Enseign. Math. 35, 213–228(1936). Zbl. 15,85

    Google Scholar 

  66. De Rham, G.: Variétés différentiables, formes, courants, formes harmoniques. Hermann, Paris 1955. Zbl. 65,324

    Google Scholar 

  67. Poly, J.: Sur un théorème de J. Leray en théorie des résidus. CR. Acad. Sci., Paris, Sér. A 274, 171–174 (1972). Zbl. 226.32005;

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  68. Poly, J.: et Formes-résidus (en codimension quelconque), Journées complexes de Metz, fév. 1972, Publ. I.R.M.A. Strasbourg 1973

    Google Scholar 

  69. Poly, J.: Formule des résidus et intersection des chaînes sous-analytiques. Thèse Poitiers, 1974

    Google Scholar 

  70. Poly, J.: Sur l’homologie des courants à support dans un ensemble semianalytique. Journées de Géom. Anal, compl. de Poitiers, Juin 1972, Bull. Soc. Math. Fr., Suppl. Mém. No. 38, 35–43 (1974). Zbl. 302.32010

    Google Scholar 

  71. Poly, J.: Formes et courants résidus. Colloq. Inter. CNRS No. 208 1972, Fonctions analytiques, Gauthiers-Villars, 1974, 204–210. Zbl. 302.32009

    Google Scholar 

  72. Ramis, J.P., Ruget, G.: Résidus et dualité. Invent. Math. 26, 89–131 (1974). Zbl. 304.32007

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  73. Schwartz, L.: Courant associé à une forme différentielle méromorphe sur une variété analytique complexe. Colloq. internat., Centre Nat. Rech. Sci. 52, Géométrie différentielle, 185–195, Strasbourg 1953. Zbl. 53,249

    Google Scholar 

  74. Severi, F.: Funzioni analitiche e forme differenziali. Atti IV. Congr. Un. Mat. Ital. I, 125–140 (1953). Zbl. 50,307

    Google Scholar 

  75. Sorani, G.: Sui residui delie forme differenziali di una varietà analitica complessa. Rend. Mat. Appl., V. Ser. 22, 1–23 (1963). Zbl. 124,389

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  76. Mei, Xiang-Ming: Note on the residues of the singularities of a Riemannian foliation. Proc. Am. Math. Soc. 89, 359–366 (1983). Zbl. 532.57015

    Article  MATH  Google Scholar 

  77. Weil, A.: Sur la théorie des formes différentielles attachées à une variété analytique complexe. Comment. Math. Helv. 20, 110–116 (1947). Zbl. 34,358

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  78. Shih, Weishu: Une remarque sur la formule des résidus. Bull. Am. Math. Soc. 76, 717–718 (1970). Zbl. 202,548

    Article  MATH  Google Scholar 

  79. Atiyah, M.F.: Resolution of singularities and division of distributions. Commun. Pure Appl. Math. 23 (1970), 145–150. Zbl. 188,194

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  80. Bernstein, I.N., Gel’fand, S.I.: Meromorphy of the functions P λ . Funkts. Anal. Prilozh, 3, No. 1, 84–85 (1969), Zbl. 208,152 Engl, transl. Funct. Anal. Appl. 3 (1969), 68–69

    MathSciNet  Google Scholar 

  81. Dickenstein, A. and Sessa C.: Canonical representatives in moderate cohomology. Invent. Math. 80 (1985), 417–434. Zbl. 579.32011

    Article  MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  82. El Khadiri, A., Zouakia, F.: Courant valeur principale associé à une forme semi-méromorphe, in El Khadiri, thèse de 3e cycle, Poitiers, 1979

    Google Scholar 

  83. Passare, M.: Residues, currents, and their relation to ideals of holomorphic functions, Math. Scand, to appear. Zbl. 633.32005

    Google Scholar 

  84. Passare, M.: Produits des courants résiduels et règle de Leibniz, C.R. Acad. Sci. Paris, Sér. I. 301 (1985), 727–730. Zbl. 583.32023

    MathSciNet  MATH  Google Scholar 

  85. Passare, M.: A calculus for meromorphic currents, preprint 1986

    Google Scholar 

  86. Passare, M.: Courants méromorphes et égalité de la valeur principale et de la partie finie, Séminaire d’Analyse (P. Lelong, P. Dolbeault, H. Skoda) 1985–1986. Lect. Notes Math. 1295, 157–166 (1987). Zbl. 634.32009

    Google Scholar 

  87. Yger, A.: Formules de division et prolongement méromorphe, Séminaire d’Analyse (P. Lelong, P. Dolbeault, H. Skoda) 1985–1986. Lect. Notes Math. 1295, 226–283 (1987). Zbl. 632.32010

    Google Scholar 

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Dolbeault, P. (1997). General Theory of Multidimensional Residues. In: Introduction to Complex Analysis. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol 7. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-61525-2_5

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