Simultane Vertrauensbereiche

Zusammenfassung

Betrachtet man zwei 95%-Vertrauensbereiche (95%-VBe), die aufgrund zweier Zufallsstichproben aus unterschiedlichen und unabhängigen Grundgesamtheiten berechnet worden sind, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, daß beide gemeinsam gültig sind, P = 0,95·0,95 = 0,9025. Generell erhält man als untere Grenze nach Bonferroni: Ungleichung nach Bonferroni

$$P(E_1 \cap E_2 \cap ... \cap E_k )\,\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle}$}}{ \geqq } 1\, - \sum\limits_{i = 1}^k {P(\bar E_i )}$$

(21.1)

$$boxed\begin{gathered} P\left( {A \cap B} \right)\underline{\underline > } 1 - P\left( {\overline A } \right) - P\left( {\overline B } \right) \hfill \\ P\left( {0,95 \cap 0,95} \right)\underline{\underline > } 1 - 0,05 - 0,05 = 0,90 \hfill \\ \end{gathered}$$

(21.2)

d. h. die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine fehlerhafte Aussage zu machen, ist somit sicherlich größer als die für jeden 95%-VB festgelegte Irrtumswahrscheinlichkeit von 0,05: sie kann maximal sogar 1–0,90 = 0,10 betragen. Im nächsten Kapitel gehen wir kurz auf den mehrfachen t-Test nach Bonferroni ein; Kapitel 35 und 36 enthalten weitere Beispiele.