Große Deformationen elastischer Stoffe

Zusammenfassung

Für einen rein elastischen Stoff muß der Spannungstensor eine eindeutige Funktion des Deformationstensors zum gleichen Zeitpunkt sein. Handelt es sich um ein isotropes Material, dann muß der Spannungstensor S eine isotrope Tensorfunktion des Tensors A oder des Tensors B sein. Wir bevorzugen aus Gründen, die später deutlich werden, die Darstellung in B. S wird also als Potenzreihe des Tensors B angesetzt. Wegen der Gl. (15.84) läßt sich diese auf folgende Gestalt für die rheologische Zustandsgieichung bringen:

$$\underline{\underline {\text{S}}} = {{{\text{F}}}_{0}}{\text{ }}({{{\text{I}}}_{{\text{B}}}},{\text{ I}}{{{\text{I}}}_{{\text{B}}}},{\text{ II}}{{{\text{I}}}_{{\text{B}}}}){\text{ }}\underline{\underline {\text{E}}} {\text{ + }}\underline{\underline {\text{F}}} {\text{ }}({{{\text{I}}}_{{\text{B}}}},{\text{ I}}{{{\text{I}}}_{{\text{B}}}},{\text{ II}}{{{\text{I}}}_{{\text{B}}}}){\text{ }}\underline{\underline {\text{B}}} {\text{ + }}{{{\text{F}}}_{2}}{\text{ }}({{{\text{I}}}_{{\text{B}}}},{\text{ I}}{{{\text{I}}}_{{\text{B}}}},{\text{ II}}{{{\text{I}}}_{{\text{B}}}}){\text{ }}\underline{\underline {{{{\text{B}}}^{2}}}}$$

(1)

wobei F₀, F₁, F₂ drei skalare Funktionen sind, die von den drei Invarianten des Tensors B abhängen können. Die Gestalt dieser drei Funktionen charakterisiert die elastischen Eigenschaften und muß experimentell bestimmt werden. Die Funktionen F₀, F₁ und F₂ sind nicht unabhängig voneinander, da sie durch die Deformationsenergie miteinander verknüpft sind. Eine zu (1) äquivalente Darstellung findet man, wenn man mit Hilfe von Gl. (15.94) den Tensor B durch den Tensor A ersetzt. Die skalaren Funktionen werden dann natürlich andere.