Geschlossene und numerische Auswertung der Reihensumme

Zusammenfassung

Im III. und IV. Kapitel haben wir uns hauptsächlich mit dem Problem A, der Konvergenzfrage, beschäftigt, und erst in den letzten Kapiteln haben wir gleichzeitig die Reihensumme mit in Betracht gezogen. Diesen letzteren Gesichtspunkt wollen wir nun in den Vordergrund stellen. Doch ist es in Ergänzung unserer Ausführungen von S. 79/80 und 107/108 nötig, sich noch einmal die Bedeutung der dabei in Betracht kommenden Fragen klarzumachen. Hat man z. B. die Gleichung 122

$$ \frac{\pi }{4} = {\rm 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + - }\ldots $$

bewiesen, so kann man ihren Inhalt auf zweierlei Art deuten. Einmal sagt sie uns, daß die Summe der rechtsstehenden Reihe den Wert

$$ {\frac{\pi }{4}} $$

hat, also der vierte Teil einer Zahl ist¹ die in sehr vielen andern Zusammenhängen auftritt und von der auch ein jeder angenäherte Werte kennt. In diesem Sinne mag man wohl sagen, daß wir die Summe der obigen Reihe haben angeben können. Das gilt aber doch nur sehr bedingt; denn die Zahl π kann auf keine Weise (vgl S. 21) vollständig hingeschrieben werden, — außer durch eine Intervallschachtelung oder ein äquivalentes Symbol. Ein solches liegt aber gerade in der Reihe, also dem in der obigen Gleichung rechts stehenden Ausdruck vor. Daher können wir von ihr auch gerade umgekehrt sagen: Sie liefert eine (sehr einfache) Darstellung der Zahl π durch eine Reihe, d. h. also durch eine konvergente Zahlenfolge, — die hier sogar besonders durchsichtig ist und (nach 69, 1) auch unmittelbar als Intervallschachtelung geschrieben werden kann².