Grundsätzliches aus der Lehre von den reellen Zahlen

Zusammenfassung

Was heißt es, wenn wir sagen, daß wir eine bestimmte Zahl „kennen“ oder daß sie uns „gegeben“ ist oder daß wir sie „berechnen“ können? Was heißt es, wenn jemand sagt, er kenne √2 oder die Zahl π oder er könne √5 berechnen? Solche und ähnliche Fragen sind leichter gestellt als beantwortet. Sage ich, es sei √2 =1,414, so ist das offenbar falsch, denn 1,4I4. 1,414 ist nicht = 2, wie man durch Ausrechnen sofort bestätigt. Sage ich vorsichtiger, es sei √2 =1,4142135 usw., so ist auch das keine stichhaltige Antwort und zunächst völlig sinnlos; denn es handelt sich doch zum mindesten darum, wie es weiter geht. Und das ist nicht ohne weiteres gesagt. Auch wird dieser Übelstand nicht beseitigt, wenn man noch mehr Ziffern des angefangenen Dezimalbruchs angibt, mögen es auch einige hundert sein. In diesem Sinne mag man wohl sagen, daß noch niemand den Wert von √2 ganz vor Augen, sozusagen vollständig in Händen gehabt hat, — während uns etwa die Aussage, daß √9 = 3, oder daß 35: 7 = 5 ist, eine restlos vollständige und befriedigende dünkt. Nicht besser steht es ersichtlich mit der Zahl π oder irgendeinem Logarithmus, einern sin oder einem cos aus den Tafeln. Trotzdem haben wir das sichere Gefühl: √2 oder π oder log 5 haben einen ganz bestimmten Wert, und wir kennen ihn auch schon. Nur über die exakte Bedeutung solcher Aussagen fehlt uns die klare Vorstellung. Wir wollen versuchen, sie uns zu verschaffen.