Die Eulersche summenformel. Asymptotische Entwicklungen

Zusammenfassung

Das Wirkungsfeld aller Summierungsverfahren, die im letzten Kapitel betrachtet wurden, war begrenzt. Nur wenn die Glieder a _n der vorgelegten divergenten Reihe mit n nicht zu schnell anwuchsen, konnte die Reihe summiert werden. So war es im Falle des B-Verfahrens notwendig, daß $\sum {\frac{{a_n }}{{n!}}x^n }$ beständig konvergierte, daß also $\frac{1}{n}\sqrt[n]{{\left| {a_n } \right|}} \to \rm o$ strebte. Daher ist z. B. die Reihe

$$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {( - {\rm 1})^n n! = {\rm 1 - 1! } + 2} ! - 3! + 4! - + \ldots + ( - {\rm 1})^n n! + \ldots $$

nicht B-summierbar. Reihen wie diese und noch stärker divergente Reihen traten aber schon früh bei den mannigfachsten Untersuchungen auf. Um sie nach den bisherigen Methoden zu beherrschen, müßten also noch stärkere Verfahren wie etwa das B _r -Verfahren herangezogen werden. Doch sind auf diesem Wege keine wesentlichen Resultate erzielt worden.