Teilbarkeit in Integritätsbereichen

Zusammenfassung

Die Arithmetik quadratischer Zahlkörper K erschließt sich erst nach angemessener Übertragung des Fundamentalsatzes. Dazu ist an die Stelle der multiplikativen Halbgruppe ℕ im Ring ℤ der ganzen rationalen Zahlen zu setzen die Halbgruppe der von Null verschiedenen Ideale im Ring ℤ _K der ganzen Zahlen von K. Ihre Multiplikation ist ein Spezialfall der Gittermultiplikation. Indes gehört die systematische Diskussion dieser Struktur in die algebraische Zahlentheorie. In diesem Abschnitt beschränken wir uns auf die Untersuchung der von den Primzahlen p herrührenden Ideal pℤ _k . Zuvor ergibt sich die Gelegenheit, einer naiven Form des Fundamentalsatzes in Integritätsbereichen nachzugehen und dabei auch die Hauptordnungen quadratischer Zahlkörper nach Beispielen und Gegenbeispielen für Fragen der Teilbarkeitslehre abzusuchen.— Alle im folgenden auftretenden Ringe sind kommutativ und haben ein Einselement, falls nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird. Demzufolge wird von einem Morphismus φ:R ® R’ zwischen Ringen neben der Verträglichkeit mit der Addition und der Multiplikation in den Ringen auch φ(1 _R ) = 1 _R’ gefordert. Dann bildet die Restriktion von φ auf die Einheitengruppe R^x einen Gruppenmorphismus in die Einheitengruppe (R’)^x.