Differente und Diskriminante

Zusammenfassung

Wir greifen den in 12.3 definierten Begriff der Diskriminante eines algebraischen Zahlkörpers K wieder auf, um ihn zusammen mit dem feineren Begriff der Differente D _K zu studieren. Am Ende der Untersuchung steht fest, daß die Differente D _K ein ganzes Ideal von K ist, in dem genau diejenigen Primideale Ρ von K aufgehen, die in K|ℚ verzweigt sind, deren Exponent Ρ_Ρ(pο) in der Primzerlegung des Hauptideals pο bezüglich der in Ρ enthaltenen Primzahl p von ℤ also größer als 1 ist. Am Anfang schon wird beobachtet, daß die Absolutnorm N(D_k) der Differente der Betrag |d _K | der Diskriminante ist. Daher teilt eine Primzahl die Diskriminante genau dann, wenn sie in K verzweigt ist (DEdekdscher Diskriminantensatz). Eine genauere Übersicht über die Verzweigung der Primzahlen und der sie enthaltenden Primideale gewinnt man durch die Betrachtung relativer Erweiterungen L|K. Auch ihnen wird eine Differente D_L\K zugeordnet. Bei Galoiserweiterungen L|K ergibt sich für jedes Primideal P ≠ {0} von L eine explizite Formel für den P-Exponenten in der Primfaktorisierung von D_L|K aus der Hilbertschen Unter gruppenkette zu P in der GaloisgruppeG von L|K. Hieraus folgt schließlich auch der Dedekindsche Diskriminantensatz.