Das Hilbertsche Normenrestsymbol

Zusammenfassung

In Analogie zu den quadratischen Zahlkörpern wird hier die Frage nach den zweidimensionalen Erweiterungskörpern K|k für den Körper k = ℚ _p der p-adischen Zahlen und beiläufig auch für den Grundkörper k = ℝ = ℚ_¥ der reellen Zahlen behandelt. Im Gegensatz zur Situation der quadratischen Zahlkörper über dem Körper ℚ der rationalen Zahlen gibt es hier über jedem der Grundkörper k bis auf Isomorphie nur eine endliche Anzahl quadratischer Erweiterungskörper als Folge der Tatsache, daß die Quadrategruppe (k^x)² in der multiplikativen Gruppe k^x endlichen Index hat. Nun definiert man nach Hilbert für jede Stelle υ von ℚ, also υ = ¥ oder υ = p Primzahl, auf der multiplikativen Gruppe $\mathbb{Q}_\upsilon ^x$ eine bilineare Abbildung in die kleinste nichttriviale abelsche Gruppe {±1} durch das Hilbertsymbol, indem man (a, b)_υ = 1 oder —1 setzt je nach dem, ob b als Wert der Norm für die Körper-Erweiterung $\mathbb{Q}_\upsilon (\sqrt a )|\mathbb{Q}_\upsilon$ auftritt oder nicht. Bei Restriktion des Symbols auf die multiplikative Gruppe ℚ^x gilt die Produktformel $\mathop \Pi \limits_\upsilon (a,b)_\upsilon = 1$.