Suchen und Konstruieren durch Verdoppeln

Zusammenfassung

Es sollen hier Resultate aus drei verschiedenen Gebieten bewiesen werden. Ein Verfahren zum Lernen Boolescher Funktionen, wobei man möglichst wenige Fehler macht [7]. Eine Konstruktion für eine Schranke aus der kombinatorischen Geometrie [4] mit algorithmischen Anwendungen (siehe auch [13]). Und ein Algorithmus zur Optimierung X. Aus der Vielfalt der Ergebnisse ergibt sich bereits, daß weniger das Ziel als vielmehr der Weg dorthin unser zentrales Anliegen ist: Eine Beweismethode, die man als „iteratives Umgewichten“ oder „Suchen bzw. Konstruktion durch Verdoppeln“ bezeichnen kann. Dabei beginnen wir mit einer Menge Mo und ziehen daraus eine Teilmenge T₀. Durch Verdoppeln der Elemente aus T₀ erhalten wir eine Menge M₁ (tatsächlich haben hier die Elemente nun Vielfachheiten). Dann ziehen wir eine Teilmenge T₁ aus M₁, verdoppeln alle Elemente in M₁, die in T₁ vorkommen, und erhalten dadurch M₂, usw. Wie wir die Teilmengen bekommen, ergibt sich erst in den konkreten Beispielen. Mit dem Verdoppeln verfolgen wir unterschiedliche Ziele. In einem Fall verringert hohe Vielfachheit die Chance, in einer der Mengen T_i aufzutauchen. Das heißt, kein Element wird viel öfter als andere in den Iterationen gezogen werden. In einer anderen Anwendung hat M gute und schlechte Elemente—welche gut und welche schlecht sind, ist uns nicht bekannt. Es gelingt uns aber immer, Teilmengen Ti zu ziehen, die mindestens ein gutes Element haben, wir wissen aber nicht, welches. Verdoppeln erhöht die Chance, in späteren T_i’s aufzutreten. Da aber immer mindestens ein gutes Element verdoppelt wird, gewinnen diese schnell die Überhand und können dadurch identifiziert werden. Diese Skizze der Idee wird vielleicht erst im Rückblick verständlich, deutet aber schon den evolutionären Charakter der Verfahren an (Brönnimann und Goodrich nennen dies „algorithmischen Darwinismus“ [1]). In jedem Fall geht es uns aber nur um Methoden, in denen die Intuition auch durch Beweise untermauert werden kann.