Verknüpfungen, Eigenschaften und Typen unscharfer Relationen

Zusammenfassung

In der theoretischen wie angewandten Mathematik sind Relationen, also Mengen, deren Elemente in einer bestimmten Beziehung zueinander stehen, von em-minenter Bedeutung. Sie bilden das Grundkonzept relationaler Datenbanksysteme, einer der bislang bedeutendsten Anwendungen der Computertechnologie überhaupt. Auf der Basis des mathematischen Relationenbegriffs wurden verschiedene Verarbeitungsmodelle für relationale Programmiersprachen entworfen. Die für das menschliche Denken und Argumentieren essentiellen Wenn-Dann-Aussagen lassen sich als Relationen von Aussagen, nämlich Implikationsrelationen, deuten. In vielen Verfahren der mathematischen Entscheidungstheorie spielen insbesondere Ordnungsrelationen eine große Rolle. Für numerische Methoden der Mustererkennung und Klassifikation (wie sie beispielsweise in der Medizin (EKG-Analyse, Computer-Tomographie etc.), in der Meterologie, in der automatischen Schrift- und Spracherkennung, in der Robotik oder in der industriellen Qualitätsprüfung angewandt werden) sind speziell Nachbarschafts-, Äquivalenz- und Ähnlichkeitsrelationen von größter Wichtigkeit. Die Weiterentwicklung der Fuzzy-Mengentheorie im Hinblick auf unscharfe Relationen ist mithin nicht nur theoretisch naheliegend, sondern zugleich durch vielfache Anwendungsmöglichkeiten in hohem Maße praktisch motiviert. In diesem Kapitel werden daher grundlegende Eigenschaften, Typen und Operatoren unscharfer Relationen definiert und erläutert.