Eichtheorie

Zusammenfassung

Die Lagrangedichte des Diracfeldes

$$L = \bar{\psi }(i{{\gamma }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }} - m)\psi$$

((5.1.1))

ist, wie in Kap. 1 erklärt, U(1)-invariant, das heißt, sie bleibt unter Transformationen der Form

$$\psi '(x) = {{e}^{{i\theta }}}\psi (x)$$

((5.1.2))

unverändert. Verallgemeinern wir (5.1.1) auf ein N-komponentiges Feld und V) zu einem N-Vektor

$$\psi = ({{\psi }_{i}}) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\psi }_{1}}} \\ {{{\psi }_{2}}} \\ \vdots \\ {{{\psi }_{N}}} \\ \end{array} } \right),\bar{\psi } = ({{\bar{\psi }}_{{1,}}}{{\bar{\psi }}_{{2,}}} \ldots ,{{\bar{\psi }}_{N}})$$

((5.1.3))

dann ändern sich die Lagrangedichte und damit die Physik nicht unter Drehungen dieses Vektors durch unitäre N x N-Matrizen U

$$ \not \upsilon '(x) = U_i ^j \not \upsilon _j (x) = \left[ {exp (i\theta ^a T_a )} \right]_i ^j \not \upsilon _j (x) \cdot $$

(5.1.4)