Simulation von stochastischen Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Im allgemeinen können nur lineare Differentialgleichungen analytisch gelöst werden, insbesondere im wichtigen multivariaten Fall. Die entsprechende Theorie wurde in Kapitel 2.2 und 3.7 kurz dargestellt. Analog zu den deterministischen gewöhnlichen Differentialgleichungen kann auch im stochastischen Fall eine Vielzahl von numerischen Schemata abgeleitet werden. Während entsprechende Verfahren wie etwa von Euler, Heun oder RungeKutta schon seit langem bekannt sind, werden numerische Verfahren für SDE erst in neuerer Zeit diskutiert (vgl. Maruyama, 1955, Milstein, 1974, Fahrmeir, 1976, Rümelin, 1982, Kloeden u. Platen, 1992). Sie spielen eine wichtige Rolle einerseits bei der Simulation von Systemen, deren exakte Systemdynamik nicht analytisch erfaßt werden kann, und andererseits bei der Berechnung von Funktionalen, die von der Dichtefunktion des Systems abhängen. Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls der Erwartungswert seiner Indikatorfunktion. Ein Optionspreis ist der Erwartungswert des Produkts einer Auszahlungsfunktion mit einem Diskont-Faktor, der durch Simulation von Trajektorien entsprechender Itô-Gleichungen für das Basispapier approximiert werden kann.