Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden lineare und linearisierte Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden untersucht. Alle schwingungsfähigen Systeme des Maschinenbaus und des Bauingenieurwesens lassen sich als Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden darstellen. Viele Systeme bestehen aus starren Teilkörpern, die elastisch miteinander verbunden oder pendelnd aufgehängt sind. Bei ihnen kann man die Zahl n der Freiheitsgrade leicht abzählen. Bei Systemen mit elastisch deformierbaren Teilen tritt ein grundsätzliches Problem auf. Man denke z. B. an einen beidseitig gelagerten Biegestab. Er hat keine endliche Zahl von Freiheitsgraden. Erst ein zum Zweck der Schwingungsanalyse gebildetes Ersatzsystem hat endlich viele Freiheitsgrade. Man kann den Stab z. B. durch n Punktmassen gleicher Gesamtmasse ersetzen, die auf einem masselosen Stab derselben Biegesteifigkeit EI angeordnet sind. Wenn man das in sinnvoller Weise tut, dann stimmen das Ersatzsystem und der kontinuierliche Biegestab zwar nicht in alien, aber doch in wesentlichen Schwingungseigenschaften in guter Näherung überein. Die Bildung sinnvoller Ersatzsysteme setzt Erfahrungen in der Schwingungslehre voraus. Die notwendige Anzahl der Freiheitsgrade hängt sowohl von der Art des Systems als auch von der Fragestellung ab. Manchmal genügen wenige Freiheitsgrade. Manchmal ist eine sehr große Zahl nötig. Die auftretenden mathematischen Probleme sind unabhängig von der Größe der Zahl n immer dieselben. Lediglich der numerische Aufwand bei der Lösung von Gleichungen ist von n abhängig. Wenn n sehr klein ist, können oft explizite analytische Lösungen angegeben werden, die es numerisch auszuwerten gilt. Bei großen Zahlen n müssen i. allg. spezielle Algorithmen zur Lösung gekoppelter Gleichungen eingesetzt werden. Auf numerische Probleme geht dieses Kapitel nicht ein. Sein wesentliches Ziel ist, zu zeigen, daß die Gleichungen von n -Freiheitsgrad-Systemen mit geeigneten Transformationen in n voneinander entkoppelte Gleichungen von Systemen mit je 1 Freiheitsgrad üwerden können. Das bedeutet, daß alle Phänomene, die in Kapitel 1 dargestellt wurden, in verallgemeinerter Form auch bei n -Freiheitsgrad-Systemen auftauchen. Hieraus ergibt sich der Aufbau des Kapitels. Es beginnt ausführlich mit der Formulierung von Bewegungsgleichungen. Daran schließen sich Abschnitte über ungedämpfte und gedämpfte Eigenschwingungen und über erzwungene Schwingungen an. In jedem Abschnitt ist die Entkopplung der Gleichungen ein wichtiges Thema.