Komplexe Zahlen in der Schwingungslehre

Zusammenfassung

Schwingungen von real existierenden Systemen werden durch reelle Funktionen beschrieben. Dennoch spielen bei der mathematischen Beschreibung komplexe Zahlen eine wichtige Rolle. Das liegt an der Eulerschen Beziehung

$$ e{i\omega t}= \cos \omega t + i\sin \omega t $$

(0.1)

zwischen der exponentiellen Darstellung und der Komponentendarstellung einer komplexen Zahl vom Betrag 1. Die Große cos ωt ist der Realteil von e^iωt . Foiglich kann man jede Gleichung zwischen reellen Großen, die cos ωt enthält, als den Realteil einer komplexen Gleichung auffassen, in der e^iωt anstelle von cos ωt steht. Ein Beispiel: Die Differentialgleichung $m\ddot q + d\dot q + kq = F$ cos ωt für die reelle Funktion q(t) ist der Realteil der komplexen Differentialgleichung $m\ddot q + d\dot q + kq = Fe{i\omega t} .$ Diese ist einfacher zu lösen als die reelle Gleichung. Ihre Lösung ist eine komplexe Funktion q(t). Deren Realteil ist die gesuchte Lösung der reellen Differentialgleichung.