Polynome und rationale Funktionen

Zusammenfassung

Die Polynome und in geringerem Maß auch die rationalen Funktionen spielen in der Mathematik und ihren Anwendungen eine wichtige Rolle. Dies hat verschiedene Gründe, von denen wir einige besonders bedeutsame auflisten:

• Polynom-Funktionen sind vom Standpunkt der Analysis aus sehr einfache Funktionen, mit deren Hilfe man das Verhalten von komplizierteren Funktionen oft ziemlich gut beschreiben kann (Taylorscher Satz).

• In der Linearen Algebra analysiert man das Eigenwert problem einer Matrix u.a. mit Hilfe ihres charakteristischen Polynoms.

• Das asymptotische Verhalten einer linearen Rekursion (Abklingen oder Anwachsen) wird durch die Nullstellen eines zugehörigen Polynoms bzw. durch die Pole einer zugehörigen rationalen Funktion bestimmt.

• Arithmetik unter Verwendung der vier Grundrechenarten (+, -, ×, /) erlaubt es, Quotienten von Polynomen, also rationale Funktionen, auszuwerten. Divisionsfrei sind genau polynomiale Ausdrücke berechenbar. Alle anderen Funktionen (z.B. die sogenannten elementaren Funktionen sin, cos, exp, log, √, ⋯) können nur näherungsweise berechnet werden, indem man ersatzweise eine polynomiale oder rationale Funktion auswertet. Benutzt man auch Verzweigungen, so kann man stückweise polynomiale oder rationale Funktionen (Splines) berechnen. Dies ist die allgemeinste Klasse von Funktionen, die mit Hilfe der hardwaremäßig installierten Schaltlogik ausgewertet werden können.