Splines

Zusammenfassung

Unter einem Spline einer reellen Veränderlichen verstehen wir eine Funktion, die stückweise auf Intervallen definiert wird und deren Teile an den Nahtstellen nach bestimmten Glattheitsforderungen verheftet sind. Die Bezeichnung Spline-Funktionen (Spline Functions) geht auf I. J. Schoenberg [1946]zurück. Die so bezeichneten Funktionen waren jedoch schon früher immer wieder bei verschiedenen Aufgabenstellungen benutzt worden. So kann man etwa bereits das Eulersche Polygonzugverfahren, das zur numerischen Berechnung der Lösung der Anfangswertaufgabe einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung dient und das man heute auch im Beweis des Satzes von Peano über die Existenz einer Lösung dieses Problems zu verwenden pflegt, als eine Anwendung einfacher Splines ansehen. Auch C. Runge [1901], W. Quade und L. Collatz [1938], J. Favard [1940]und R. Courant [1943]sind hier zu nennen, ohne daß dies eine vollständige Aufzählung sein könnte. Überhaupt ist die Entstehung der Theorie der Splines ein Beispiel für eine Entwicklung, die durch praktische Erfordernisse ins Leben gerufen wurde. Diese praktischen Erfordernisse bestanden damals in der Notwendigkeit, über anwendbare Methoden zur glatten Approximation empirischer Tabellen im Zusammenhang mit ballistischen Untersuchungen zu verfügen. Die Erarbeitung der Theorie folgte erst später; heute gibt es weit über tausend Veröffentlichungen, die Splines zum Gegenstand haben. Es ist deshalb verständlich, wenn wir uns im Rahmen dieses Lehrbuchs nur einführend mit einem Ausschnitt dieses großen Gebiets befassen können. Wir wählen dazu solche Splines aus, die sich aus Polynomen aufbauen lassen.