Die Zetafunktion im kritischen Streifen

Zusammenfassung

In 2.8 haben wir uns mit der Frage der vertikalen Verteilung der Nullstellen beschäftigt. Eine Frage blieb dabei unbeantwortet. Zur Lokalisierung der Nullstellen auf Re s = 1/2 muß die Zetafunktion auf dieser Geraden zumindest näherungsweise berechnet werden. Ziel dieses Abschnitts sind Näherungsformeln für ζ(s) in 0 < Re s < 1. Die Dirichlet-Reihe konvergiert dann nicht mehr gegen ζ(s). Es stellt sich aber heraus, daß die ersten Glieder der Dirichlet-Reihe trotzdem noch eine gute Approximation liefern. Eine sehr einfache Formel dieses Typs haben wir bereits in (1.66) kennengelernt. Dort hatten wir für s = σ + it mit σ > 0

$$\zeta (s) - \sum\limits_{{n \leqslant N}} {{{n}^{{ - s}}}} = \frac{{{{N}^{{1 - s}}}}}{{s - 1}} + O\left( {\left( {1 + \frac{{\left| s \right|}}{\sigma }} \right){{N}^{{ - \sigma }}}} \right)$$

(4.1)

gezeigt. Bei festem s wird der Fehler für genügend große N klein. Allerdings ist der Faktor |s| ein ernster Nachteil, wenn Im s groß gewählt werden soll. Mit dem folgenden Satz können wir das Restglied weiter verbessern.