Funktoren und natürliche Transformationen

Zusammenfassung

Hat man Kategorien definiert, stellt sich die Frage, was die Beziehungen zwischen Kategorien sind. Da Kategorien eine interne Struktur haben, gegeben durch Objekte, Morphismen, Komposition und Identitäten, lassen sich funktionale Beziehungen zwischen Kategorien durch Abbildungen herstellen, die diese Struktur bewahren. Wie Graph- und Σ-Homomorphismen sind Funktoren, die Morphismen zwischen Kategorien, definiert als Abbildungen der Objekte und Morphismen, die mit Komposition und Identitäten vertraglich sind. So lassen sich Kategorien von Kategorien konstruieren, sofern man die Größe der Objektkategorien geeignet beschränkt. (Eine Kategorie aller Kategorien ergibt ähnliche Schwierigkeiten wie eine Menge aller Mengen — siehe dazu auch Anm. 3.7.2.)