Zusammenfassung
Wir sind jetzt in der Lage, aus den Entwicklungslinien der bisherigen Kapitel diejenigen Ergebnisse herauszuziehen und zu systematisieren, die sich auf den Zusammenhang zwischen den periodischen Funktionen und der Fouriertransformation beziehen. Neben neuen Einsichten über die Besonderheiten bei den periodischen Funktionen—insbesondere in Verbindung mit den Fourierreihen —ist das Ziel hierbei vor allem die Erarbeitung des bemerkenswerten Abtasttheorems. Zusätzlich werden wir damit auch die Überleitung zur diskreten Fouriertransformation vorbereiten.
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Notes
Im folgenden wird auf frühere Transformationsergebnisse in der Regel nicht mehr ausdrücklich durch die Formelnummer Bezug genommen. Hierzu kann die Zusammenfassung des Abschnitts 6.6 benutzt werden.
Da wir in Satz 8.1 keine speziellen Voraussetzungen über die Punktion f gemacht haben, müssen wir bei der Darstellung von f durch die Fourierreihe auf den Begriff der „verallgemeinerten Fourierreihe“ verweisen, deren Konvergenz im Rahmen der Distributionstheorie erfüllt ist (vgl. S. 170). Ist f dagegen eine stückweise glatte Funktion, dann ist nach S. 107 die Konvergenz dieser Fourierreihe im Sinne der klassischen Analysis gesichert.
Genau genommen gibt es natürlich unendlich viele solcher Intervalle.
Die Einschränkungen, die zu den bisherigen Ergebnissen über die beteiligten Funktionstypen aufgrund von Vereinbarungen gemacht wurden, sind für die Aussagen nicht wesentlich sondern dienen der Vereinfachung der Systematik.
vgl. S. 79
Es muß noch einmal ganz deutlich herausgestellt werden, daß diese Folgerung nur dann gültig ist, wenn wir—wie vereinbart—Summen bzw. Produkte von periodischen Funktionen mit irrationalem Periodenverhältnis ausschließen (vgl. S. 240).
Bezeichnet nach Julius von Hann. Gelegentlich findet sich hierfür auch der Begriff Hanning-Fenster, der der englischsprachigen Literatur entlehnt ist.
Zu den englischsprachigen Begriffen Sampling und Sample vgl. die Fußnote auf S. 74.
Es liegt nahe, dieses Ergebnis im Vergleich mit der Daxstellung einer Punktion f(x) durch ihre Taylorreihe zu sehen. Voraussetzung ist hier, daß zu einem xo € Df sämtliche Ableitungen f (n)(x o) existieren. Durch diese Ableitungswerte ist dann die Punktion f in einem die Stelle x o umgebenden Konvergenzintervall vollständig durch die Taylorreihe festgelegt. Die Anforderung an die Funktion f für die Wiedergabe durch eine Taylorreihe ist allerdings verglichen mit dem oben genannten Ergebnis beträchtlich: f(x) muß in einer Umgebung von x o unendlich oft differenzierbar sein.
Whittaker [33] und Shannon [29]. Gelegentlich wird hierfür auch die Bezeichnung „Abtastsatz von Whittaker-Shannon“ benutzt.
Die üblichen Interpolationsformeln arbeiten bekanntlich nur mit einer endlichen Anzahl von Stützpunkten P(x n y n) für z.B. n = 1,...,N ∈ ℕ. Im Gegensatz zu der Formel (8.31) müssen hierbei die Stützstellen x n jedoch nicht äquidistant d.h. gleichabständig sein.
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Klingen, B. (2001). Fouriertransformation und periodische Funktionen. In: Fouriertransformation für Ingenieur- und Naturwissenschaften. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-56775-9_8
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