Zusammenfassung
Der abstrakte Funktionsbegriff ist erst relativ spat entstanden. Die ersten Ansätze findet man in philosophischer Sprache bei N. Oresme, der mathematische Funktionsbegriff entwickelte sich im Anschluss an die Erfindung der analytischen Geometrie, und wurde zuerst 1673 von G.W. Leibniz explizit formuliert. Aber auch danach wurden nur spezielle Klassen von Funktionen betrachtet, im wesentlichen die elementaren Funktion und so1che, die sich in Form einer Potenzreihe oder eines parameterabhängigen Integrals (wie etwa die Gamma-Funktion) darstellen lassen. Mit dem Studium der Fourier-Reihen entsteht dann bei L. Euler und ganz explizit 1837 bei P.G. Lejune Dirichlet die heute gebräuchliche allgemeine Definition der Funktion als eindeutige Zuordnungsvorschrift. Viel älter als der Begriff der Funktion ist der der Kurve. Kuryen traten schon in der Antike als geometrische Objekte auf, und man stellte sie sich als mechanisch erzeugt vor, etwa durch Bewegung eines Punktes. Zur Vereinfachung der Darstellung benutzen wir im folgenden die Sprache der analytischen Geometrie.
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Literaturhinweise
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Brieskorn, E., Knörrer, H.: Ebene algebraische Kurven, Birkhäuser, Basel, 1981 Dies ist die beste Einführung in die moderne algebraische Geometrie.
Burau, W.: Algebraische Kurven und Flächen, Band I: Algebraische Kurven der Ebene, Sammlung Göschen Band 435, W. de Gruyter, Berlin, 1962 Einführung in die klassische algebraische Geometrie der Kurven
Chandrasekhar, S.: Newton’s Principia for the Common Reader, Clarendon Press, Oxford, 1995 Obwohl Newtons „Principia“ sogar in deutscher Übersetzung vorliegen - Mathematische Prinzipien der Naturlehre, hrsg. von J. Ph. Wolfers, Wiss. Buchges. Darmstadt, 1963 - ist der Text heute für den mathematischen (und physikalischen) Laien sehr schwer zu lesen. Das Buch gibt eine moderne Darstellung der wichtigsten Passagen mit vielen Kommentaren.
Euler, L.: Zur Theorie komplexer Funktionen, Ostwalds Klass. d. exakt. Wiss. 261, Harri Deutsch, Frankfurt, 19962 siehe Abschnitt 1.1
Genocchi, A., Peano, G.: Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung, Turin, 1884, dt. von G. Bohlmann und A. Schepp, Teubner, Leipzig, 1899 siehe Abschnitt 3.2
Gray, A.: Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica ®, CRC Press, Boca Raton, 1998 Elementare Einführung in die Differentialgeometrie mit vielen Bildern, die mit Hilfe des Computer-Algebra-Programms MATHEMATICA erstellt wurden. Das Buch enthält ferner eine Vielzahl kurzer biographischer Notizen und Bildnissen von Mathematikern.
Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, Stuttgart, 19912 siehe Abschnitt 2.4
Knorr, W.R.: The Ancient Tradition of Geometric Problems, Birkhäuser, Boston, 1986 Eine eingehende Studie über den Ursprung der drei klassischen Probleme der Geometrie
Loria, G.: Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven, Teubner, Leipzig, 1902 Ein fast enzyclopädisches Werk zur Theorie und zur Geschichte ebener Kurven
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Schupp, H., Dabrock, H.: Höhere Kurven, B-I-Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1995 Es werden die ebenen Kurven (mit ihren Anwendung in der Technik) dargestellt, die in der Schule besprochen werden könnten.
Vahlen, Th.: Konstruktionen und Approximationen, Teubner, Leipzig, 1911 Das Buch beschäftigt sich mit der Frage geometrischer Konstruktionen mit Zirkel und Lineal sowie auch anderer Hilfsmittel. Im Fall der Quadratur des Kreises, der Winkeldreiteilung oder der Konstruktion von regelmäßigen Vielecken werden auch Näherungskonstruktionen vorgestellt.
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Literaturhinweise
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Genocchi, A., Peano, G.: Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung, Turin, 1884, dt. von G. Bohlmann und A. Schepp, Teubner, Leipzig, 1899G. Peanos Ausarbeitung der Vorlesungen seines Lehrers A. Genocchi wurden berühmt durch seine eigenen Zusätze, in denen er durch Beispiele (wie die oben angegebenen Punktionen zweier Variabler) einige Fehler in den Lehrbüchern eines so renommierter Mathematikers wie J.A. Serret aufdeckte. Näheres findet man in H.C. Kennedy, Selected Works of Guiseppe Peano, Allen & Unwin, London, 1973. Das Lehrbuch von Peano war das zweite, das die Grundbegriffe der Analysis in „Weierstraß’scher Strenge“ einführte. Das erste war das aus Vorlesungen in den Jahren 1875/76 entstandene Lehrbuch Grundlagen für eine Theorie der Funktionen einer veränderlichen reellen Größe von U. Dini (Pisa, 1878, dt. von J. Lüroth und A. Schepp, Teubner, Leipzig, 1892). Hier wurden im Original die reellen Zahlen mittels Dedekind’scher Schnitte konstruiert, in der deutschen Übersetzung à la Cantor mittels Cauchy-Folgen. Wie bereits erwähnt hat Dini auch die Sätze über implizite bzw. inverse Funktionen erstmals streng bewiesen, und zwar in den weiterführenden Vorlesungen zur Differential- und Integralrechnung der Jahre 1876/77. Diese Vorlesungen waren bereits weit verbreitet - sie gingen auch in Peanos Lehrbuch ein - bevor sie 1907/1909 auch gedruckt als „Lezioni di analysis infinitesimale“ (zweibändig) erschienen.
Lagrange, J.L. de: Mathematische Werke, 2 Bde, dt. von A.L. Crelle, Reimer, Berlin, 1823 Enthalten sind darin die Lehrbücher Theorie der analytischen Functionen (Paris, 1797) und Vorlesungen über die Functionen-Rechnung (Paris, 1801), in denen Lagrange ohne jegliche Verwendung von Grenzwerten oder infinitesimalen Größen die algebraische Analysis begründet hat. Das obige Zitat ist dem ersten Buch entnommen, das man im franz. Original als Band 9 in den gesammelten Werken findet. Diese enthalten auch die ursprünglichen Arbeiten aus den Jahren 1759 und 1788.
Poston, T., Stewart, I.N.: Catastrophe Theory and its Applications. Pitman, London, 1978 Das Buch bietet neben einer elementaren Einführung in die Katastrophentheorie eine Vielzahl von Anwendungen sowie eine umfangreiche Bibliographie bis zum Jahr 1978.
Niven, L.: Maxima and Minima without Calculus, Math. Assoc. of America, Washington, 1981
Tikhomirov, V.M.: Stories about Maxima and Minima, Amer. Math. Soc., Providence, 1990 Die beiden Bücher zeigen, dass man bei der Lösung von Extremalproblemen oft ohne die zumeist mechanisch und blinde Anwendung der Differentialrechnung auskommt, ein Umstand der in der Schule noch zu wenig berücksichtigt wird.
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Needham, T.: Visual Complex Analysis, Oxford Univ. Press, Oxford, 1998 Das Buch ist eine sehr empfehlenswerte Einführung in die komplexe Analysis (Funktionentheorie). Der Schwerpunkt liegt auf der Geometrie der komplexen Zahlen und den geometrischen Abbildungseigenschaften komplexwertiger Punktionen. Dabei werden auch viele Aspekte der Differentialgeometrie aus der Sicht der Funktionentheorie beleuchtet.
Reich, K.: Die Geschichte der Differentialgeometrie von Gauß bis Riemann (1828-1868), Archive Hist. Exact Sei. 11 (1973) 273-382 Sehr detaillierte Studie mit umfangreicher Bibliographie zur Entwicklung der Differentialgeometrie im genannten Zeitraum. Für den daran anschließenden bis zur mathematischen Begründung der Relativitätstheorie hat die Autorin ein Buch veröffentlicht: Die Entwicklung des Tensorkalküls, Birkhäuser, 1993.
Schröder, E.: Kartenentwürfe der Erde, Harri Deutsch, Thun, 1988 Das Buch bietet die differentialgeometrischen Grundlagen der Kartographie und enthält die wichtigsten Projektionsmethoden.
Literaturhinweise
Lakatos, I.: Beweise und Widerlegungen, Vieweg, Braunschweig, 1979 Dies ist eine für die neuere Philosophie der Mathematik bedeutsame Untersuchung des Euler’schen Polyedersatzes. Anhand dieses „Satzes“ wird der Prozess des Aufstellens von Vermutungen, deren Beweis oder deren Verwerfung geschildert - eine Absage an die Absolutheit mathematischer Ideen und Begriffe.
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Reich, K.: Die Geschichte der Differentialgeometrie von Gauß bis Riemann (1828-1868), Archive Hist. Exact Sci. 11 (1973) 273-382 siehe vorigen Abschnitt
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Schröder, H. (2001). Differentialrechnung. In: Wege zur Analysis. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-56740-7_4
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