Zusammenfassung
Die Ursprünge der Integrationstheorie liegen im Quadraturproblem, d.h. in der Aufgabe eine gegebene Fläche in ein Quadrat von gleichem Flacheninhalt zu verwandeln. Zunächst muss natürlich geklärt werden, was unter dem Flacheninhalt einer krummlinig begrenzen ebenen Figur zu verstehen ist. Wir gehen heute aus yom Flächeninhalt F = a· b eines Rechtecks mit den Seiten a und b. Da kongruente Figuren gleichen Flächeninhalt besitzen sollen, erhält man sofort fur ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b als Flächeninhalt \( F = \frac{1} {2}ab \) . Ferner sollen sich die Flächeninhalte addieren, wenn man zwei disjunkte Figuren vereinigt. Durch Wegnehmen und Anlegen zeigt man dann, dass jedes Dreieck mit derselben Grundlinie c = a und derselben Höhe h = b den Flächeninhalt \( F = \frac{1} {2}ch \) besitzt.
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Literaturhinweise
Archimedes: Werke, dt. von A. Czwalina, F. Rudio & J.L. Heiberg, Wiss. Buchges., Darmstadt, 1963 Die Ausgabe enthält alle erhaltenen Werke von Archimedes in deutscher Übersetzung. Die von Czwalina ins Deutsche übertragenen Arbeiten wurden um 1900 als Ostwalds Klassiker veröffentlicht. Sie sind zusammengefasst in Abhandlungen, Ostwalds Klassiker, Band 201, erschienen im Harri Deutsch Verlag, Frankfurt a.M., 1996
Edwards, C.H.: The Historical Development of the Calculus, Springer, New York, 1979 Ausführliche Darstellung der Geschichte der Analysis von den Anfängen bis ins 20. Jahrhundert (Nichtstandard-Analysis)
Führer, L.: Zum Gehalt der elementaren Integralrechnung in ideengeschichtlicher Sicht, MU 1981, Heft 5, 7-60 Ausgezeichneter Überblick über die Entwicklung der (geometrischen) Integralrechnung, der den möglichen Einsatz der genetischen Methode von Toeplitz im Unterricht unterstützt.
Hasse, H., Scholz, H.: Die Grundlagenkrisis der Griechischen Mathematik, PanVerlag Kurt Metzner, Berlin-Charlottenburg, 1928 Die Autoren untersuchen, wieso die Griechen die irrationalen Zahlen nicht einführen konnten bzw. nicht einführen wollten.
Kepler, J.: Neue Stereometrie der Fässer, dt. von R. Klug, Ostwalds Klass. d. exakt. Wiss. Nr. 165, Akad. Verlagsges., Leipzig, 1987 (Neudruck) Dies ist ein Auszug aus „Nova Stereometria doliorum vinariorum“ in deutscher Übersetzung, wobei der nichtmathematische Teil ganz und im mathematischen leider die Beweise weggelassen worden sind (siehe dazu unten [Wie]). Von dem praktischen Teil hat Kepler allerdings selbst einen Auszug in „deutscher“ Sprache veröffentlicht - man findet ihn in seinen gesammelten Werken.
Scriba, C.J.: Welche Kreismonde sind elementar quadrierbar? Die 2400jährige Geschichte eines Problems bis zur endgültigen Lösung in den Jahren 1933/1947, Mitteil. Math. Gesell. Hamburg 11 (1988) Heft 5, 517 - 539 Der Autor schildert ausführlich das genannte Problem. Er zählt es zusammen mit den drei bekannteren Konstruktionsproblemen (siehe Abschnitt 3.1) zu den klassischen Problemen. In diesem größeren Zusammenhang wird es vom selben Autor auch in dem Artikel On the So-called ’Classical Problems’ in the History of Mathematics in Cahier d’Histoire & de Philosophie des Sciences No. 21, 1981, pp. 73-99 behandelt.
van der Waerden, B.L.: Erwachende Wissenschaft, Birkhäuser, Basel, 1956 Das Buch ist eine meisterhafte Darstellung der vorgriechischen und insbesondere der griechischen Mathematik. In einem zweiten Band hat der Autor auch „Die Anfänge der Astronomie“ beschrieben. Ferner ist von ihm das Buch Die Pythagorer, Artemis, Zürich, 1979, erschienen, in dem er nicht nur die mathematischen Leistungen dieser Bruderschaft würdigt, sondern auch deren religiöse und philosophische Vorstellungen vermittelt. In seinem letzten Buch Geometry and Algebra in Ancient Civilisations, Springer, Berlin, 1983, hat er neuere Kenntnisse über die Geschichte der antiken Mathematik vorgestellt, insbesondere den altindischen Einfluss auf die griechische Mathematik.
Waismann, F.: Einführung in das mathematische Denken, dtv, München, 19703 Allgemein verständliche Einführung in die Grundbegriffe der Analysis, insbesondere den Zahlbegriff, von einem Vertreter des „Wiener Kreises“.
Wieleitner, H.: Keplers „Archimedische Stereometrie“, Unterrichtsbl. f. Math. u. Naturw. 36 (1930), 176-185 und Über Keplers „Neue Stereometrie der Fässer“, KeplerFestschrift I. Teil (Hrsg. K. Stöckl), 279-313, Regensburg, 1930 Der Autor gibt eine detaillierte Beschreibung des oben zitierten Werks, wobei die in der deutschen Übersetzung fehlenden Beweise zum Teil ergänzt und kommentiert werden.
Literaturhinweise
Courant, R., Hilbert, D.: Methoden der Mathematischen Physik, Springer, Berlin, 19934 Ein weiterführendes Werk, das den klassischen Hintergrund (in Methode und Beispielreservoir) der modernen Funktionalanalysis in meisterhafter Weise darzustellen weiß.
Hildebrandt, S., Tromba, A.: The Parsimonious Universe, Copernicus-Springer, New York, 1999 Neben dem isoperimetrischen Problem werden in diesem besonders schön ausgestatteten Buch noch andere Extremalaufgaben vorgestellt, die wesentlichen Anteil an der Entstehung der „Variationsrechnung“ hatten. Dazu gehört das „Plateau’sche Problem“, bei dem nach einer Fläche im Raum gefragt wird, die bei gegebener Randkurve den kleinsten Flächeninhalt besitzt. Solche Flächen werden durch „Minimalflächen“ realisiert, wie sie etwa bei Seifenblasen auftreten.
Lebesgue, H.: Measure and the Integral, Holden-Day, San Francisco, 1966 Der Begründer der modernen Integrationstheorie vermittelt die Ideen die dem Prozess des Messens (von Längen, Flächen und Rauminhalten) zugrunde liegen.
Pólya, G.: Mathematik und Plausibles Schließen I. Induktion und Analogie in der Mathematik, Birkhäuser, Basel, 19692 Erster Teil eines zweibändigen Werkes, das in die Arbeitsweise des Mathematiker einführen soll, wobei die (heuristischen) Methoden zur Lösung mathematischer Probleme im Vordergrund stehen.
Sagan, H.: Space-Filling Curves, Springer, Berlin, 1994 Das umfassenste Buch über stetige nirgends differenzierbare Kurven mit vielen biographischen Anmerkungen
Sz.-Nagy, B.: Introduction to Real Functions and Orthogonal Expansions, Oxford Univ. Press, New York, 1965 Eine klassische Einführung in die Theorie der Fourierreihen und anderer Orthonormalsysteme
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Gericke, H.: Mathematik in Antike und Orient/ Mathematik im Abendland, Fourier Verlag, Wiesbaden, 19932
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Amann, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen, W. de Gruyter, Berlin, 19952 Eine Darstellung der modernen Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen (oder dynamischen Systeme), in der besonders der qualitative Aspekt betont wird
Arnol’d, V.I.: Huygens and Barrow, Newton and Hooke, Birkhäuser, Basel, 1990 Der Autor beleuchtet die Hintergründe, die zur Entdeckung des Gravitationsgesetzes geführt haben. Dabei erfährt man auch einiges über die Charaktere der beteiligten Person und die Auseinandersetzungen zwischen ihnen.
Bernoulli, Joh.: Die erste Integralrechnung, Ostwalds Klass. d. exakt. Wiss. 194, dt. von G. Kowalewski, Akad. Verlagsges., Leipzig, 1914 Zusammen mit der „Differentialrechnung“ von 1691/92 (Ostwalds Klass. d. exakt. Wiss. 211, dt. von P. Schafheitlein, ebd. 1924) bilden diese Vorlesungsaufzeichnungen die Grundlage des oben erwähnten Analysisbuches von l’Hospital.
Hairer, E., Wanner, G.: Analysis by its History, Springer, Berlin, 19972 Die Autoren versuchen die Analysis in ihrer historischen Entwicklung im Anschluss an Newton und Leibniz darzustellen. Viele Aufgaben sind den Originalarbeiten der Bernoullis und Eulers entnommen und daher für den Studienanfänger teilweise zu anspruchsvoll.
Heuser, H.: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, Stuttgart, 19912 Das Buch bietet die klassische Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, gewürzt mit Beispielen aus den unterschiedlichsten Bereichen und allerlei Anekdoten.
Leibniz, G.W.: Über die Analysis des Unendlichen, Ostwalds Klass. d. exakt. Wiss. 162, dt. von G. Kowalewski, Akad. Verlagsges., Leipzig, 1908 (Nachdruck bei H. Deutsch, Frankfurt, 1996) Hiermit liegt (in deutscher Übersetzung) eine Auswahl der wichtigsten Arbeiten LEIBNIZens zur Analysis vor. Sie sind fast alle in der von ihm mit herausgegebenen Zeitschrift „Acta Eruditorum“ erschienen. Der Nachdruck bei H. Deutsch, Frankfurt, 1996, enthält auch Band 164 Newtons „Abhandlung über die Quadratur von Kurven“.
Simmons, G.F.: Differential Equations with Applications and Historical Notes, McGraw-Hill, New York, 1972 Wie das vorige Buch zeichnet sich auch dieses vor allem durch seine historischen Anmerkungen aus.
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Schröder, H. (2001). Integralrechnung. In: Wege zur Analysis. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-56740-7_3
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