Zusammenfassung
Die Art und Weise wie sich die Pythagoreer um 500 v.u.Z. mit dem Zahlbegriff beschäftigt haben kann als die Geburt der Mathematik angesehen werden. Sie haben als erste die Zahlen nicht nur zum Zählen und Rechnen benutzt, sondern auch ihre strukturellen Merkmale erkannt — wie etwa die Eigenschaft einer natürlichen Zahl, gerade oder ungerade zu sein. Dabei verstanden sie unter Zahlen nur die natürlichen Zahlen 1,2,3, 4, … Eigentlich begannen sie mit der 2, dem Doppelten der Einheit. Die Null kam erst viel spater durch die Inder hinzu, und sie wird auch heute nicht immer zu den natürlichen Zahlen gerechnet. Während natürliche Zahlen absolute Größen sind, treten bei geometrischen Problemen, beim Messen von Längen und Flächen, auch relative Größen auf und zwar als Verhältnis zweier natürlicher Zahlen. Man kann nicht ohne weiteres von der Länge einer Strecke sprechen, sondern nur zwei gegebene Strecken vergleichen. Die Pythagoreer nannten zwei Strecken kommensurabel oder von gemeinsamem Maß, wenn sie beide das ganzzahlige Vielfache einer einzigen Strecke sind. Wir sagen heute, die Streckenlängen stehen in rationalem Verhältnis.
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Literaturhinweise
Becker, O. (Hrsg.): Zur Geschichte der Griechischen Mathematik, Wiss. Buchges., Darmstadt, 1965 Sammlung einiger der wichtigsten Artikel namhafter Mathematikhistoriker zur Geschichte der griechischen Mathematik. Zur Entdeckung der inkommensurablen Größen siehe auch Das Mathematische Denken der Antike von O. Becker (Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1957) sowie The Evolution of the Euclidean Elements von W.R. Knorr (D. Reidel, Dordrecht, 1975).
Beutelspacher, A., Petri, B.: Der Goldene Schnitt, B-I.Wissenschaftsverlag, Mannheim, 19952
Caspar, M., von Dyck, W.: Johannes Kepler in seinen Briefen, 2 Bde., Oldenbourg, München, 1930
Cigler, J.:Grundideen der Mathematik,B.I.Wissenschaftsverlag,Mannheim,1992 Der Autor versucht die Grundideen der Mathematik an Beispielen aus der Algebra, der Zahlentheorie und der Geometrie zu vermitteln. Auch zu Grundlagenfragen wie der konstruktiven Behandlung der reellen Zahlen und der Nichtstandard-Analysis nimmt er Stellung.
Conway, J.H., Guy, R.K.: Zahlenzauber, Birkhäuser, Basel, 1997 Dies ist ein Buch für alle, die sich für den Zauber der (natürlichen) Zahlen bereits begeistern können oder diesen erst neu entdecken möchten. Ohne Beweise werden u.a. Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen und anderer Zahlenfolgen vorgestellt sowie die verschiedener irrationaler Zahlen.
Coxeter, H.S.M.:Unvergängliche Geometrie,Birkhäuser,Basel, 19812 Ein bereits klassisches Werk zur Geometrie, besonders für Studierende des Lehramtsstudiengangs
Euklid : Die Elemente, dt. von C. Thaer, Ostwalds Klass. d. exakt. Wiss. 235,H. Deutsch, Frankfurt, 19973 Die „Stoicheia“ von Euklid waren für mehr als 2000 Jahre das wichtigste mathematische Werk.
Euler, L.: Zur Theorie komplexer Funktionen, Ostwalds Klass. d. exakt. Wiss. 261, Harri Deutsch, Frankfurt, 19962 Die Sammlung von Auszügen aus Eulers Werk enthält insbesondere seine Herleitung der Formel von Moivre.
M.Gardner: Mathematische Spiele, Spektrum der Wissenschaften 1979, Heft 11,22-33. Populärwissenschaftlicher Artikel zum Thema Penrose-Pflasterungen
Kepler, J.: Das Weltgeheimnis, dt. von M. Caspar, Filser, Augsburg, 1923 Das „Mysterium Cosmographicum“, das Erstlingswerk Keplers, erschien zuerst 1596 sowie in zweiter Auflage mit kritischen Anmerkungen von Seiten des Autors im Jahr 1621.
Kepler, J.: Weltharmonik, dt. von M. Caspar, Oldenbourg, München, 1997 In der „Harmonice Mundi“ von 1619 entwarf Kepler sein platonisches Weltbild.
Senechal, M.: Quasicrystals and Geometry, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995 Neben periodischen und aperiodischen Pflasterungen (oder Parkettierungen) der Ebene werden auch aperiodische „Packungen“ des Raums behandelt.
Toepell, M.: Platonische Körper in Antike und Neuzeit, MU 1991, Heft 4, 45-79 Reich illustrierter Überblick über die Geschichte der platonischen Körper, zur Verwendung in der Schule geeignet.
Literaturhinweise
Beckmann, P.: A History of , St. Martin’s Press, New York, 19743 Das umfangreichste allgemein verständliche Buch zur Geschichte von
Berggren, L., Borwein, J., Borwein, R: Pi: A Source Book, Springer, Berlin, 1997 Die umfangreiche Quellensammlung dokumentiert in historischer Abfolge die wichtigsten Arbeiten zur Berechnung von
Descartes, R.: Regeln zur Ausrichtung der Erkenntniskraft, dt. v. L. Gäbe, H.Springmeier & H.G. Zekl, F. Meiner, Hamburg, 1973 Erstes wichtiges Werk von Descartes, in dem sich bereits eine Algebraisierung der Geometrie andeutet.
Descartes, R.: Geometrie, dt. von L. Schlesinger, Wiss. Buchges., Darmstadt, 19692 Eines der wichtigsten Bücher der Mathematikgeschichte. Mit ihm begründete Descartes die analytische Geometrie.
Dutka, J.: On the Gregorian revision of the Julian calender, Math. Intelligencer 10 (1988) 56-64 Übersichtsartikel zur Entstehung des gregorianischen Kalenders
Ginzel, F.K.: Handbuch der mathematischen und technischen Chronologie, Bde. 1-3, Hinrichssche Buchhandl., Leipzig, 1906-1914 Trotz seines Alters noch immer das deutschsprachige Standardwerk zur Kalenderkunde
Juschkewitsch, A.P.: Geschichte der Mathematik im Mittelalter, Pfalz-Verlag, Basel, 1966 Ein Standardwerk zur Geschichte der Mathematik im Mittelalter, worin die Leistungen der arabischislamischen Mathematiker besonders gewürdigt werden.
Lang, S.: Introduction to Diophantine Approximations, Springer, Berlin, 19952 Das Buch enthält neben einer Einführung in die Theorie der Kettenbrüche auch 3 Reprints von Arbeiten mit Koautoren zur Approximation algebraischer Irrationalitäten.
Mäder, P.: Mathematik hat Geschichte, Metzler, Hannover, 1992 Der Autor stellt vier, besonders im Hinblick auf die Schule zentrale mathematische Themen in ihrer geschichtlichen Entwicklung dar: quadratische Gleichungen, die Zahl , die Zahl e und die Vektorrechnung.
Omar Khayyam: Discussion of Difficulties in Euclid, engl. von A.R. Ami-Móez, Scripta Math. 24 (1959) 275 - 303 Englische Übersetzung der Kommentare Omar Khayyams zu Euklids „Elementen“
Perron, 0.: Die Lehre von den Kettenbrüchen I,II, Teubner, Stuttgart, 1954 Noch immer die gründlichste Darstellung der Theorie der Kettenbrüche
Rudio, F.: Archimedes, Huygens, Lambert. Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung, Teubner, Leipzig, 1892 (Nachdruck bei Dr. M. Sändig, Wiesbaden, 1971) In deutscher Übersetzung werden vier wichtige Arbeiten zur Berechnung von vorgelegt.
Zemanek, H.: Kalender und Chronologie. Bekanntes und Unbekanntes aus der Kalenderwissenschaft, Oldenbourg, München, 19986 Sehr zu empfehlen als ersten Einstieg in das Kalenderwesen, besonders im Hinblick auf die Schule
Literaturhinweise
Berggren, L., Borwein, J., Borwein, P.: Pi: A Source Book, Springer, Berlin, 1997 siehe Abschnitt 1.2
Lambert, J.H.: Opera Mathematica, Bde. I,II, Orell Füssli, Zürich, 1946 & 1948 Enthält die wichtigsten Arbeiten Lamberts - leider nicht seine Arbeiten zur Kartographie
Niven, I.: Irrational Numbers. Math. Assoc. of America, Washington, 19673 Dies ist eine elementare Einführung in die Theorie der Kettenbrüche und in die Theorie der transzendenten Zahlen. Als Ergänzung im Hinblick auf die zahlentheoretischen Anwendungen siehe auch An Introduction to the Theory of Numbers von I. Niven, H.S. Zuckerman und H.L. Montgomery (J. Wiley & Sons, New York, 19915), wovon eine frühere Auflage auch in deutscher Übersetzung vorliegt.
van der Poorten,A.: A proof that Euler missed ...,Math. Intelligencer 1 (1979) 195-203 Hier werden die von Apéry gelassenen Beweislücken gefüllt.
van der Waerden, B.L.: Algebra I, Springer, Berlin, 19939 Der Klassiker der modernen Algebra
Literaturhinweise
Becker, O.: Grundlagen der Mathematik, Suhrkamp, Frankfurt, 1975 In einer Zusammenstellung von Auszügen aus Originalarbeiten wird die Entwicklung der Grundbegriffe der Analysis, insbesondere der des Kontinuums, nachgezeichnet.
Bishop, E., Bridges, D.: Constructive Analysis, Springer, Berlin, 1983 Die Neuauflage des Buches von Bishop aus dem Jahr 1967: „Foundations of Constructive Analysis“
H.-D.Ebbinghaus, u.a.: Zahlen, Springer, Berlin, 19882 Alle Zahlbereiche, von den natürlichen über die reellen und die komplexen Zahlen bis zu den Quaternionen, werden in ihrer historischen Entwicklung beschrieben. Darüber hinaus findet man die modernen Ansätze von J.H. Conway - Zahlen als Spiele - und A. Robinson - hyperreelle Zahlen - sowie weitere Verallgemeinerungen wie Clifford-Algebren und deren Anwendung in der Topologie. Ein eigenes Kapitel ist der Geschichte des Fundamentalsatzes der Algebra gewidmet.
Gauß, C.F.: Die vier Gauß’schen Beweise, (hrsg. von E. Netto) Ostwalds Klass.d. exakt. Wiss. Nr. 14, Akad. Verlagsges., Leipzig, 19133 Enthält die vier Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra von Gauss in deutscher Übersetzung
Gericke, H.: Mathematik in Antike und Orient/Mathematik im Abendland, Fourier Verlag, Wiesbaden, 19932 siehe Abschnitt 2.3
Hischer, H., Scheid, H.: Grundbegriffe der Analysis, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 1995
Taschner, R.: Lehrgang der konstruktiven Mathematik. 1. Teil: Zahl und Kontinuum, 2. Teil: Differentialrechnung, 3. Teil: Funktionen, Manz-Verlag, Wien, 1991-93 Einziges Lehrbuch der Analysis, das dem Studienanfänger die Analysis im Sinne Bishops nahe bringt
Weyl, H.: Randbemerkungen zu Hauptproblemen der Mathematik, Math. Zeitschr. 20 (1924) 131-150 Der letzte von drei Artikeln Weyls zur konstruktiven (oder intuitionistischen) Begründung der Analysis
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Schröder, H. (2001). Reelle Zahlen. In: Wege zur Analysis. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-56740-7_2
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