Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir eine weitere Methode der Modellbildung kennenlernen, die sich in vielen Aspekten als Verallgemeinerung der Differenzengleichungen lesen läßt. Im Fall der Differenzengleichungen gelangt man durch Anwenden der Funktion / vom Zustand zur Zeit t zum Zustand zur Zeit t+1. Ordnet man nun mehrere solche Systeme in einer Reihe an und erlaubt jedem Einzelsystem, seine unmittelbaren Nachbarn zu beeinflussen, so ergibt sich eine neue Klasse von mathematischen Modellen, sogenannte zellulären Automaten.1 Das Ziel einer solchen Herangehensweise ist die Modellierung von Systemen, die aus einer Vielzahl von interagierenden Elementen bestehen, sogenannte „komplexe Systeme“. Zelluläre Automaten (engl. cellular automata) stellen ein Werkzeug bereit, um Musterbildungsphänomene und Selbstorganisationsprozesse auf lokale Wechselwirkungen zurückführen zu können. Hinter diesen Begriffen steht ein sehr klar umrissenes theoretisches Konzept (Bar-Yam 1997, Wolfram 1984): Prozesse der Selbstorganisation sind in dieser Sprache dadurch charakterisiert, daß räumlich angeordnete Elemente unter dem Einfluß lokaler (also zwischen benachbarten Elementen wirksamer) Regeln charakteristische Strukturen (Muster) ausbilden (siehe Abb. 3.1).
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Literatur
Dies ist eine Vereinfachung des wirklichen Sprachgebrauchs. So bezeichnet man solche Systeme auch als coupled-map lattices, sofern die dynamische Variable kontinuierlich ist, und spricht von zellulären Automaten nur im diskreten Fall.
Geometrisch führt ein solches „Zusammenkleben“ auf einen sogenannten Torus, also — anschaulich ausgedrückt — die Oberfläche eines Kuchenkringels (Donut).
In vielen Fällen wird das geeignete Element einfach Null sein, z.B. bei Automaten mit einem (diskretisierten) Zahlenintervall als Zustandsraum. In anderen Modellen muß das geeignete neutrale Element speziell ausgewählt werden. Im Fall von „Life“ zum Beispiel hat der „tot“-Zustand gerade diese Rolle.
Das formale Argument ist dabei, daß nur dieses Vorgehen die Isotropie des Raums erhält. Andere Verfahren würden eine unerwünschte Vorzugsrichtung in das System tragen.
Dabei ist zu beachten, daß die Diffusionskonstante physikalisch eine Verknüpfung von räumlicher und zeitlicher Skala herstellt.
An dieser Stelle sei noch einmal darauf hingewiesen, daß solche Systeme in der Forschungsliteratur auch als coupled-map lattices bezeichnet werden. Im strengen Sinn liegt erst beim Übergang zu einem diskreten, beschränkten Zustandsraum ein zellulärer Automat vor, zum Beispiel durch Binärcodierung der reellen Zahlen.
Mit Homogenität ist hier im wesentlichen die Anzahl gleicher nächster Nachbarn gemeint. Eine genauere mathematische Diskussion dieses Begriffs findet sich in Kapitel 5.3.
Die biologische Vorstellung hinter dieser Regel ist, daß für sich inaktive Teile eines Gesamtproteins zusammentreffen müssen, um ein vollständiges funktionsfähiges Protein zu ergeben. Wie auch in dem hier vorgestellten einfachen ZA-Modell steuert die Lipidmembran durch ihre biophysikalischen Eigenschaften die Wahrscheinlichkeit für ein solches Zusammentreffen und damit die globale Proteinaktivität.
Die mathematische Gestalt dieser Funktion kennen wir aus der Diskussion sigmoidaler Punktionen in Kapitel 1.2.1. Auch hier wurde die Annahme verwendet, daß der konkrete Verlauf der Funktion im Übergangsbereich für die Dynamik des zellulären Automaten keine wesentliche Rolle spielt. In Abb. 3.24 wurde eine (zweidimensionale) Hill-Funktion verwendet.
Diese Überlegung gibt einen gewissen Einblick in das Funktionieren einer vollständig thermodynamischen Formulierung eines Membranmodells: Dort wird die Energiebilanz der verschiedenen Konstellationen untersucht und mit der Energie kBT, die durch thermische Fluktuationen zur Verfügung steht, verglichen. Der Vergleich geschieht über sogenannte Boltzmann-Faktoren exp(△E/kBT), die proportional zu den Tauschwahrscheinlichkeiten sind. Die Größe △E bezeichnet hier die Differenz der Bindungsenergien der beiden Lipide in ihren Nachbarschaften vor und nach dem möglichen Platztausch.
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Hütt, MT. (2001). Zelluläre Automaten. In: Datenanalyse in der Biologie. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-56631-8_3
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