Elastisches Verhalten isotroper und anisotroper Stoffe

Zusammenfassung

Ein elastischer Körper ist durch die Materialgleichung

$$ \sigma _{ij} = f_{ij} (\partial x_p /\partial a_q ) $$

((3.1))

definiert, die im unverformten Zustand des Körpers auf den Nulltensor führt. In (3.1) ist f_ij eine tensorwertige Funktion vom Deformationsgradienten (1.13a), für die wegen σ_ij; = σ_ji auch f_ij = f_ji gelten muss. Berücksichtigt man das Prinzip der materiellen Objektivität, so ergibt sich für die Darstellung der Stoffgleichung (3.1) eine Einschränkung, die man folgendermaßen finden kann. Ein ruhender Beobachter beschreibt den Bewegungsvorgang des Materials durch den Deformationsgradienten (1.13a). Die Bewegung des Bezugssystems eines bewegten Beobachters sei durch eine zeitabhängige Drehung Q (t) und eine Translation C(t) gekennzeichnet, so dass von ihm aus eine Bewegung

$$ \overline x _i (a_p ,t) = Q_{ij} (t)x_j (a_p ,t) + C_i (t) $$

((3.2))

beobachtet wird. Durch Differentiation erhält man aus (3.2) einen Deformationsgradienten $\overline F _{ij} : = \partial |\overline x _i /\partial a_j ,$ , der mit (1.13a) gemäß

$$ \overline F _{ij} = Q_{ip} F_{pj} $$

((3.3))

zusammenhängt. Diesen Deformationsgradienten würde der bewegte Beobachter in (3.1) einsetzen, um den Spannungstensor σ zu ermitteln. Somit stellt jeder Beobachter einen anderen Deformationsgradienten fest, d.h., der Deformationsgradient ist nicht objektiv, was mathematisch durch (3.3) zum Ausdruck kommt.1 Hingegen muss man vom Spannungstensor Objektivität verlangen:

$$ \overline \sigma _{ij} \mathop !\limits_ = \sigma \begin{array}{*{20}c} * \\ {_{ij} } \\ \end{array} = Q_{ip} Q_{jq} \sigma _{pq,} $$

((3.4))

d.h., der CAUCHYsche Spannungstensor ist ein objektiver Tensor. Die vom bewegten Beobachter ermittelten Spannungskoordinaten ^*_ϭij sind durch das Transformationsgesetz eines Tensors zweiter Stufe mit den Spannungskoordinaten σ_ij verknüpft, die der ruhende Beobachter feststellt. Mithin schließen beide Beobachter auf ein und denselben Spannungszustand. Für die Materialgleichung (3.1) findet man somit aufgrund der materiellen Objektivität wegen ((3.3)) und ((3.4)) die Einschränkung:

$$ \boxed{Q_{ik} Q_{jl} f_{kl} (F_{pq} ) \equiv f_{ij} (Q_{pr} F_{rq} )}, $$

((3.5))

die als Bedingung der Form-Invarianz für die tensorwertige Funktion f_ij(F_pq) angesehen werden kann.