Symmetrie

Zusammenfassung

Wir müssen nun etwas zur Bedeutung der Symmetrie sagen. Symmetrie drückt eine Invarianz der physikalischen Gesetze gegenüber Transformationen aus. Eine Symmetrie kann a priori sein, d.h. das physikalische Gesetz - die Dynamik - hat aus physikalischen Gründen eine Invarianz zu haben; es kann aber auch die mathematische Formulierung des Gesetzes weitere Invarianzen mit sich bringen, also neue Symmetrien aufzeigen. Dazu gehört z.B. auch die Möglichkeit einer Eichsymmetrie, die ausdrückt, daß eine abgeleitete Variable eigentlich einer Äquivalenzklasse angehört und die Dynamik, bzw. das Gesetz, nur modulo der Äquivalenzrelation festgelegt ist. Zum Beispiel ergeben alle A ^μ in (2.34), die sich um ∂f/∂x _μ unterscheiden, die gleiche Dynamik der Teilchen (bestimmt durch F ^μv). Die Erkennung von Symmetrien, bzw. Invarianzen, ist für das Lösen von Gleichungen von sehr großer Bedeutung, denn Invarianzen sind mit Erhaltungsgrößen (ich denke hier an Noether-Theoreme) verbunden, so daß dadurch die Lösungsmannigfaltigkeit eingeschränkt wird (Energierhaltung, Drehimpulserhaltung und Ähnliches) oder auch das Lösen von Hamiltonschen Gleichungen durch kanonische Transformationen. Darum geht es mir in diesem Kapitel aber nicht. Wir müssen vielmehr klar erkennen, ob eine Symmetrie physikalisch fundamental ist oder einfach nur mathematisch. Die kanonischen Transformationen (q,p) → (Q,P), die ja die Hamiltonschen Gleichungen invariant lassen, sind Ausdruck der symplektischen Symmetrie, aber diese ist mathematisch, denn physikalisch sind die Orte der Teilchen ganz klar ausgezeichnet.