Biegung gerader Stäbe

Zusammenfassung

Gerade Stäbe, die durch äußere Belastungen gebogen werden, sind wichtige Konstruktionselemente von Tragwerken. Im Unterschied zum Zugstab, bei dem Spannungen und Verschiebungen nur von einer einzigen Koordinate x entlang der Stabachse abhängen, treten beim Biegestab Spannungen und Verschiebungen in drei Koordinatenrichtungen auf. Bei einer mathematisch strengen Beschreibung des Biegeproblems erweisen sich alle Spannungen und Verschiebungen als Funktionen von drei Koordinaten des Raumes. Sie treten überdies in gekoppelten partiellen Differentialgleichungen auf, z.B. in der Form von (2.23). Für technisch interessierende Stabformen und Belastungsfälle können i. allg. keine exakten Lösungen gefunden werden. Eine technische Biegetheorie kann sich mit guten Näherungslösungen begnügen, die aus vereinfachten, d. h. nicht exakten Lösungsansätzen gewonnen werden. Damit die Lösungsansätze dieses Kapitels hinreichend genau sind, muß die geometrische Form der Stäbe drei Bedingungen erfüllen:

• Bedingung I Die Verbindungslinie der Flächenschwerpunkte aller Stabquerschnitte bildet eine Gerade. Diese Gerade heißt Stabachse.

• Bedingung II Die größte Querschnittsabmessung des Stabes ist klein im Verhältnis zur Stablänge.

• Bedingung III Querschnittsveränderungen längs der Stabachse dürfen sprunghaft sein. Stetige Querschnittsveränderungen dürfen andererseits nur ganz allmählich erfolgen. Stetige Querschnittsveränderungen dürfen nicht so geartet sein, daß der Stab längs seiner Achse verwunden ist.

Mit der ersten Bedingung wird erreicht, daß man sich bei der Beschreibung der Durchbiegung auf die Angabe der sog. Biegelinie beschränken kann. Das ist diejenige Linie, die die Stabachse nach der Verformung annimmt. Die Notwendigkeit für die Bedingungen II und III wird erst im Laufe des Kapitels klar. Das Verbot einer Verwindung des Stabes in Bedingung III wird noch genauer formuliert. Gemeint ist, daß sich das System der sog. Hauptachsen der Stabquerschnitte längs der Stabachse nicht drehen darf. Der Begriff Hauptachsen wird erst in Abschnitt 5.2 definiert.