Zusammenfassung
Ausgerüstet mit einem soliden Werkzeugkasten arithmetischer Funktionen, die in den vorangegangenen Kapiteln erarbeitet wurden, wenden wir uns nun der Implementierung einiger grundlegender Algorithmen aus dem Bereich der Zahlentheorie zu. Die in den folgenden Kapiteln behandelten zahlentheoretischen Funktionen bilden eine Auswahl, die einerseits die Anwendung der Arithmetik für große Zahlen beispielhaft verdeutlicht, und die andererseits bereits einen brauchbaren Grundstock an Funktionen für komplexere zahlentheoretische Berechnungen und kryptographische Anwendungen bildet. Der hiermit bereitgestellte Fundus kann in viele Richtungen erweitert werden, so dass für nahezu jede Anwendungsform die erforderlichen Hilfsmittel mit den aufgezeigten Methoden erstellt werden können.
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Notes
Der kleine Fermat’sche Satz besagt, dass für eine Primzahl p und alle ganzen Zahlen a gilt a p = a mod p. Falls p kein Teiler von a ist, gilt a p−1 = 1 mod p (vgl. [B], Kap. 2, §3, 3). Der kleine Fermat’sche Satz und dessen Verallgemeinerung von Euler gehören zu den wichtigsten Sätzen der Zahlentheorie.
Für die grundlegenden Dinge zum Verständnis asymmetrischer Kryptoverfahren wird erneut auf das Kapitel 16 verwiesen.
Wir dürfen annehmen, dass ggT(M, n A) = 1 ist und daher tatsächlich vier verschiedene Wurzeln von C existieren. Ansonsten könnte der Sender B den Modulus n A des Empfängers A faktorisieren, indem er ggT(M, n A) berechnet. Dies ist natürlich nicht im Sinne eines Public Key Systems.
http://www.utm.edu/research/primes (GIMPS steht für The Great Internet Mersenne Prime Search, vgl. http://www.ibmps.com/gimp.html)
Zur Diskussion der komplexitätstheoretischen Aspekte der Kryptographie vergleiche man beispielsweise [HKW], Kap. VI oder auch [Schn], Kap. 19.3 und 20.8 mit vielen weiteren Literaturhinweisen. Man beachte ebenfalls die Fußnote auf Seite 169.
Bewiesen wurde der Primzahlsatz gleichzeitig und unabhängig voneinander durch Jacques Hadamard und Charles-Jacques de la Vallée-Poussin (vgl. [B], Kap. 7, §3).
Es bleibe dem Leser oder der Leserin überlassen, die tatsächliche Anzahl der Primzahlen unterhalb von 10100 herauszufinden;-).
Es ist 93 = 106 = 1 mod 91, da 3 die Ordnung von 9 und 6 die Ordnung von 10 in ℤ91, ist. Daher gilt 945 = 93.15 = 1 mod 91 und 1045 = 106.7+3 = 103 = −1 mod 91.
In [BCGP] wird darauf hingewiesen, dass Knuth’s Behauptung nur deswegen gilt, weil die Irrtumswahrscheinlichkeit für die meisten zusammengesetzten Zahlen deutlich unterhalb von 1/4 liegt, ansonsten die von Knuth betrachtete Fehlerquote signifikant über dem angegebenen Wert 10−6 läge.
Cohen weist in diesem Zusammenhang darauf hin, dass die praktisch einsetzbare Variante des APRCL-Algorithmus wieder probabilistisch ist, dass jedoch auch eine weniger praktische, dafür aber deterministische Version existiert (vgl. [COHE], Kap. 9).
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Welschenbach, M. (2001). Zahlentheoretische Grundfunktionen. In: Kryptographie in C und C++. Xpert.press. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-56445-1_10
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