Quadratische Formen über Q

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden einige grundlegende Aussagen über quadratische Formen über dem Körper der rationalen Zahlen bewiesen. Fundamental ist dabei die Methode der Lokalisierung, bei der einem quadratischen Raum V über ℚ seine sämtlichen Komplettierungen V _p , also die durch Skalarerweiterung ents tehenden Räume über den komplet tierten Körpern ℚ _p , für alle Primzahlen p, sowie über ℝ zugeordnet werden. Um eine einheitliche Sprechweise zu haben, verstehen wir im folgenden unter einer Stelle von ℚ eine Primzahl oder das Symbol ∞. Für jede Stelle p haben wir eine Bewertung |t| _p von ℚ sowie den komplettierten Körper ℚ _p , wobei ℚ∞ ist. (In der Tat entprechen die Stellen eineindeutig den Äquivalenzklassen von nicht-trivialen Bewertungen von ℚ) Aus den Ergebnissen von §16 ist schnell abgeleitet, daß die quadratischen Räume über einem ℚ _p und entsprechend die Witt-Gruppen (ℚ _p ) eine einfache Struktur haben. Insofern liefern die Komplettierungen V _p ein handliches Invariantensystem. In diesem Kapitel werden hierüber genauere Aussagen formuliert und gezeigt, daß rationale quadratische Formen durch ihre lokalen Invarianten vollständig bestimmt sind, und daß ferner auch die weitergehende Frage nach der Darstellung von Zahlen durch Formen lokal beantwortet werden kann.