Clifford-Algebren

Zusammenfassung

Die Clifford-Algebra eines quadratischen Moduls E ist eine nicht-kommutative Algebra B, die E enthält und in der die quadratische Form durch das Quadrieren in B gegeben wird: q(x) · 1 _B = x². Clifford-Algebren sind ein wesentliches Hilfsmittel der modernen Theorie der quadratischen Formen, sowohl im Hinblick auf die Klassifikation quadratischer Formen über einen gegebenen Körper zur Definition von Invarianten, als auch zur Untersuchung der ort hogonalen Gruppe sowie zur Konstruktion ihrer zweiblättrigen Überlagerung, der sog. Spingruppe. Für die Konstruktion von Invarianten ist die Clifford-Algebra deshalb geeignet, weil sie im wesentlichen eine halbeinfache Algebra ist, womit eine unmit telbare Verbindung zur Brauergruppe eines Körpers hergestellt wird. Für spätere arithmetische Untersuchungen über Zahlkörpern hat die Spingruppe einen wesentlichen Vorteil gegenüber der orthogonalen Gruppe dadurch, daß sie einfach zusammenhängend im Sinne der Theorie der algebraischen Gruppen ist. Die Theorie der Clifford-Algebren wird hier soweit wie möglich über beliebigen Ringen entwickelt, wobei wieder die eigenständige Definition quadratischer Formen (im Unterschied zu symmetrischen Bilinearformen) wichtig ist.