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Der Satz von Minkowski und Siegel

  • Martin Kneser
  • Rudolf Scharlau
Part of the Springer-Lehrbuch Masterclass book series (MASTERCLASS)

Zusammenfassung

Wir wissen aus früheren Abschnitten, daß im positiv definiten Fall ein Lokal-Global-Prinzip für Darstellungen durch ganzzahlige quadratische Formen (bzw. Gitter) im strikten Sinne nieht gilt. Wir hab enjedoch einige schwächere Resultate kennengelernt, die unter der Voraussetzung gelten, daße in Gitter L überall lokal durch ein Git ter M dargestellt wird: es wird L durch ein Gitter M′ im Geschlecht dargestellt, und durch M selbst, falls das Minimum von L gentigend groß ist. In diesem Kapitel lernen wir eine weitere, weitgehende Variante dieses Themenkreises kennen: betrachtet werden gewiehtete Mittelwerte der Dars tellungsanzahlen a(L, M i ) von L durch M i , die über alle Gitter M i , des Geschlechts von M gebildet werden. Es zeigt sieh, daß solche Mittelwerte allein von den lokalen Dar stellungen von L p durch M p für alle Primzahlen p abhängen. Der Satz von Minkowski und Siegel besagt genauer, daß die in Frage stehende Darstellungsanzahl durch ein unendliches Produkt über sogennante lokale Darstellungsdichten gegeben wird. Der Beweis benutzt die adelische orthogonale Gruppe von M. Dieses ist eine Untergruppe des direktes Produktes der lokalen orthogonalen Gruppen O(ℚ p M).

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

Authors and Affiliations

  • Martin Kneser
    • 1
  • Rudolf Scharlau
    • 2
  1. 1.GöttingenDeutschland
  2. 2.Fachbereich MathematikUniversität DortmundDortmundDeutschland

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