Das Problem des diskreten Logarithmus für elliptische Kurven

Zusammenfassung

Wir haben nun eine ganze Reihe von endlichen abelschen Gruppen kennengelernt, nämlich die Gruppen G = E(F _q ) für eine elliptische Kurve E über dem endlichen Körper F _q . Für jede solche Gruppe G = E(F _q ) und jeden Punkt P ∈ E(F _q ) können wir also die in Kapitel 1 vorgestellten Verfahren der Public-Key-Kryptographie (Diffie-Hellman Schlüsselaustausch, ElGamal-Verschlüsselung und ElGamal-Signaturen) betrachten. Wir haben gesehen, daß diese Verfahren nur dann brauchbar sein können, wenn das diskrete Logarithmus-Problem in E(F _q ) „schwer“ zu lösen ist (auch wenn nicht bewiesen ist, daß dies schon ausreicht, um die kryptographische Sicherheit zu gewährleisten). In diesem Kapitel wollen wir die bekannten Angriffe auf das DL-Problem vorstellen und so herausfinden, wie man E(F _q ) und P wählen muß, damit das DL-Problem möglichst schwierig ist. Dabei konzentrieren wir uns auf die momentan tatsächlich durchführbaren Methoden und lassen die Angriffe durch (bisher) hypothetische Quantencomputer, mit denen alle gebräuchlichen Public-Key-Verfahren geknackt werden könnten, außer acht.