Elementar-transzendente Funktionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden die klassischen transzendenten Funktionen besprochen, die schon EULER in seiner Introductio [E] behandelt hat. Im Zentrum steht die Exponentialfunktion, die sowohl durch ihre Differentialgleichung als auch durch ihr Additionstheorem bestimmt ist (Paragraph 1). Im Paragraphen 2 beweisen wir mittels Differenzen unter Heranziehung der logarithmischen Reihe direkt, ohne irgendwelche Anleihen bei der reellen Analysis zu machen, daß die Exponentialfunktion einen Homomorphismus der additiven Gruppe ℂ auf die multiplikative Gruppe ℂ^× definiert. Dieser Epimorphiesatz ist grundlegend für alles weitere, er führt z.B. sofort zur Einsicht, daß es eine eindeutig bestimmte positive reelle Zahl π gibt, so daß exp z genau für die Zahlen 2nπi, n ∈ ℤ den Wert 1 hat. Damit ist die Kreiszahl „auf natürliche Weise im Komplexen“ eingeführt.

Post quantitates exponentiales considerari debent arcus circulares eorumque sinus et cosinus, quia ex ipsis exponentialibus, quando imaginariis quantitatibus involuntur, proveniunt¹ (L. EULER, Introductio).

Nach den Exponentialgrößen müssen die Kreisfunktionen, der Sinus und der Cosinus, betrachtet werden, weil sie aus den Exponentialgrößen selbst entspringen, sobald dieselben imaginäre Zahlgrößen enthalten (Übersetzung H. MASER).