Laurentreihen und Fourierreihen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel diskutieren wir zwei Typen von Reihen, die nach den Potenzreihen zu den wichtigsten Reihen der Funktionentheorie gehören: Laurentreilien $\sum\nolimits_{ - \infty }^\infty {a_\nu (z - c)^\nu }$ und Fourierreihen $\sum\nolimits_{ - \infty }^\infty {c_\nu {\text{e}}^{2\pi i\nu z} }$ Die Theorie der Laurentreihen ist eine Theorie der Potenzreihen für Kreisringe; WEIERSTRASS hat übri gens Laurentr eihen auch Potenzreihen genannt (vgl. [W₂], S. 67). Fourierreihen sind Laurentreihen um c:= 0 mit e^2πiz anstelle von z, die große Bedeutung dieser Reihen liegt darin, daß sich holomorphe periodische Funktionen in solche Reihen entwickeln lassen. Eine besonders wichtige Fourierreihe ist die Thetareihe $\sum\nolimits_{ - \infty }^\infty {{\text{e}}^{ - \nu ^2 \pi \tau } } {\text{e}}^{2\pi {\text{i}}\nu z}$ die der Mathematik des 19. Jahrhunderts ganz entscheidende Impulse gegeben hat.

At quantropere doctrina de seribus infinitis Analysin sublimiorem amplificaveret, nemo est, qui ignoret1 (L. EULER 1748, Introductio).

Bekanntlich hat gerade durch die Lehre von den unendlichen Reihen die höhere Analysis sehr bedeutende Erweiterungen erfahren (Übersetzung H. MASER).