Konvergente Reihen meromorpher Funktionen

Zusammenfassung

Der Berliner Mathematiker Gotthold EISENSTEIN (Studierenden der Algebravorlesungen durch sein Irreduzibilitätskriterium bekannt) hat 1847 in die Theorie der trigonometrischen Funktionen die heute vielfach nach ihm benannten Reihen

$$ \sum\limits_{\nu = - \infty }^\infty {\frac{1} {{(z + \nu )^k }}} , k = 1,2,... $$

eingeführt. Diese Eisensteinsehen Reihen sind die einfachsten Beispiele von in ℂ normal konvergenten Reihen meromorpher Funktionen. In diesem Kapitel wird im Paragraphen 1 zunächst allgemein der Begriff einer kompakt bzw. normal konvergenten Reihe meromorpher Funktionen eingeführt. Im Paragraphen 2 wird die Partialbruchreihe der Cotangensfunktion

$$ \pi \cot \pi z = \frac{1} {z} + \sum\limits_1^\infty {\frac{{2z}} {{z^2 - \nu ^2 }}} = \frac{1} {z} + \sum\limits_1^\infty {\left( {\frac{1} {{z + \nu }} + \frac{1} {{z - \nu }}} \right)} $$

studiert, die zu den fundament alen Reihenentwicklungen der klassischen Analysis gehärt. Durch Koeffizientenvergleich der Taylorreihen von $\sum\nolimits_1^\infty {\frac{{2z}} {{z^2 - \nu ^2 }}}$ und π cot πz - 1/z um 0 gewinnen wir im Paragraphen 3 die berühmten Eulersehen Identitäten

$$ \sum\limits_1^\infty {\frac{1} {{\nu ^{2n} }} = ( - 1)^{n - 1} \frac{{(2\pi )^{2n} }} {{2(2n)!}}B_{2n} , n = 1,2,....} $$

Im Paragraphen 4 skizzieren wir den Eisensteinsehen Zugang zu den trigonometrischen Funktionen.