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Maximumprinzipien

  • Aslak Tveito
  • Ragnar Winther
Part of the Springer-Lehrbuch book series (SLB)

Zusammenfassung

Im vorliegenden Kapitel befassen wir uns mit Maximumprinzipien. Diese ermöglichen gewisse Aussagen über die Lösungen von Gleichungen ohne die Gleichungen lösen zu müssen.

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Literatur

  1. 2.
    In der Angewandten Mathematik spricht man oft davon, dass eine physikalische Größe einem mathematischen Modell “gehorcht”. Natürlich kann dies nicht wörtlich genommen werden. Gemeint ist vielmehr, dass das Modell das physikalische Phänomen vernünftig beschreibt. Bedenken Sie immer, dass wir nur Modelle betrachten können. Im günstigsten Falle liefern diese Modelle sehr genaue Vorhersagen physikalischer Prozesse. Dennoch bleiben sie nur Modelle. Auf der anderen Seite können Ergebnisse physikalischer Experimente und Beobachtungen niemals als Begründung für die Eigenschaften mathematischer Modelle verwendet werden. Natürlich wissen wir, dass es zu jedem Zeitpunkt eine eindeutige Temperaturverteilung im betrachteten Stab gibt. Dies ist aber kein Argument für die Existenz einer Lösung des mathematischen Problems. Wenn sauber modelliert wurde, kann man mit einer gewissen Berechtigung hoffen, dass sich wesentliche Eigenschaften des physikalischen Prozesses im Modell wiederspiegeln. Selbstverständlich ist dies jedoch nicht!Google Scholar
  2. 3.
    Obwohl das Maximumprinzip physikalisch selbstverständlich erscheint, ist es aus mathematischer Sicht keineswegs trivial. Ein naheliegender Versuch, dieses Prinzip zu beweisen, wäre die Verwendung der Fourierlösung aus Kapitel 3. Dieser Versuch scheitert. Es ist sehr schwierig, ein Maximumprinzip auf Grundlage solcher Reihenentwicklungen zu beweisen.Google Scholar
  3. 4.
    Der Begiff “Regularisierung” wird in der Mathematik oft verwendet. Üblicherweise versteht man darunter eine leichte Veränderung in eine günstige Richtung. Im Fall der Zweipunkt-Randwertaufgabe haben wir zum Beispiel durch die Addition eines kleinen Termes das Problem so “regularisiert”, dass aus der Differentialgleichung eine Differentialungleichung wurde, von der wir bereits gewisse Eigenschaften kannten.Google Scholar
  4. 5.
    supy(a(y),b(y),c(y)) ist hier eine abkürzende Schreibweise für max(supy a(y), supy b(y), sup y c(y)). Analog definieren wir inf.Google Scholar
  5. 6.
    Das Rechteck R und dessen unterer Rand B werden in Abbildung 6.2 definiert.Google Scholar
  6. 7.
    mini(a i,6i,Ci) ist hier eine abkürzende Schreibweise für min(mini ai,mini bi, mini Ci). Analoges gilt für max-Ausdrücke.Google Scholar
  7. 8.
    Das Rechteck R und dessen unterer Rand B werden in Abbildung 6.2 auf Seite 180 skizziert; siehe auch (6.8) und (6.10).Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

Authors and Affiliations

  • Aslak Tveito
    • 1
  • Ragnar Winther
    • 1
  1. 1.Institut für InformatikUniversität OsloOsloNorwegen

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