Zusammenfassung
Im letzten Abschnitt haben wir eine sehr effektive Methode zur analytischen Lösung partieller Differentialgleichungen hergeleitet. Mit einfachen Techniken konnten wir eine explizite Formel zur Lösung vieler parabolischer Differentialgleichungen angeben. Die Untersuchung dieser analytischen Lösungen lehrt einiges über das qualitative Verhalten solcher Modelle. Diese qualitativen Einsichten ebnen wiederum den Weg für das Verständnis komplizierterer Gleichungen.
This is a preview of subscription content, log in via an institution.
Buying options
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Learn about institutional subscriptionsPreview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literatur
Für Einprozessor-Rechner ist die Bewertung verschiedener Methoden hinsichtlich der angegebenen Kriterien recht einfach: Es genügt entweder a priori oder durch einen Testlauf die Anzahl benötigter arithmetischer Operationen zu bestimmen. Im Zeitalter des Parallelrechnens ist das Problem komplexer. Die Qualität einer Methode hängt auf Parallelrechnern davon ab, wie weit sie mehrere verfügbare Prozessoren ausnutzen kann.
Siehe Projekt 1.1, Seite 28.
Gelegentlich wird auch im Deutschen die englische Bezeichnung “stencil” benutzt.
Man kann hier jede nicht verschwindende Konstante wählen. Vgl. die analoge Diskussion im kontinuierlichen Fall auf Seite 91.
...immer noch formale Lösung.
Tatsächlich konvergieren die Fourierkoeffizienten für k gegen Unendlich gegen Null. Dies folgt aus der Besselschen Ungleichung, die wir weiter unten im Kapitel 8 betrachten. Hier genügt die Beschränktheit der Koeffizienten.
Die Trapezregel zur numerischen Integration wird in Projekt 2.1 auf Seite 82 beschrieben.
Hier stellt sich die Frage, warum wir plötzlich komplexe Funktionen benötigen. Bisher waren ja alle auftretenden Größen reell. Machen Sie sich deshalb keine allzu großen Sorgen. Die Einführung komplexer Variablen dient hier nur der Vereinfachung der Rechnungen. Man kann alternativ direkt mit den Sinus— und Cosinus—Funktionen arbeiten oder beide Fälle gleichzeitig über komplexe Exponentialfunktionen behandeln.
Unter dem Einfrieren von Koeffizienten verstehen wir deren Approximation durch Konstanten. Natürlich ist diese Vorgehensweise nur lokal sinnvoll. Daher führt das Einfrieren der Koeffizienten oft zu einer ganzen Familie von Problemen mit konstanten Koeffizienten.
Die Technik der Linearisierung kombiniert mit dem lokalen Einfrieren der Koeffizienten erlaubt die Analyse erstaunlich schwieriger Probleme. Eine hervoragende Einführung in dieses Gebiet wird in einem Buch von Kreiss und Lorenz [17] gegeben. Eine ausführliche Diskussion des praktischen Nutzens der von Neumannschen Methode für kompliziertere Probleme findet man in einem Buch von Godunov und Ryabenkii [10].
Siehe Abschnitt 6.3.2 auf Seite 189.
Man mag denken,dass mit den leistungsstarken modernen Computern solche Aspekte weniger wichtig geworden sind. Dies ist nicht der Fall. Wir streben immer nach höherer Genauigkeit und komplexeren Modellen, so dass unsere Wünsche die aktuellen Computerkapazitäten stets um ein Vielfaches übersteigen.
Siehe Übungsaufgabe 4.24.
Wir werden im Abschnitt 6.3.2, Seite 189 für die durch dieses Schema erzeugte numerische Approximation der Lösung die Stabilität, präziser ein Maximumprinzip untersuchen.
In Kapitel 2 haben wir die Schrittweite in x-Richtung h genannt. Entsprechend haben wir das innere Produkt mit einem Index h versehen. Hier haben wir es mit zwei Gitterparametern Δx und Δt zu tun und verwenden als Index für das innere Produkt das Symbol Δ.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 2002 Springer-Verlag Berlin Heidelberg
About this chapter
Cite this chapter
Tveito, A., Winther, R. (2002). Finite Differenzenmethoden für die Wärmeleitungsgleichung. In: Einführung in partielle Differentialgleichungen. Springer-Lehrbuch. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-642-56227-3_4
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-56227-3_4
Publisher Name: Springer, Berlin, Heidelberg
Print ISBN: 978-3-540-42404-8
Online ISBN: 978-3-642-56227-3
eBook Packages: Springer Book Archive