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Finite Differenzenmethoden für die Wärmeleitungsgleichung

  • Aslak Tveito
  • Ragnar Winther
Part of the Springer-Lehrbuch book series (SLB)

Zusammenfassung

Im letzten Abschnitt haben wir eine sehr effektive Methode zur analytischen Lösung partieller Differentialgleichungen hergeleitet. Mit einfachen Techniken konnten wir eine explizite Formel zur Lösung vieler parabolischer Differentialgleichungen angeben. Die Untersuchung dieser analytischen Lösungen lehrt einiges über das qualitative Verhalten solcher Modelle. Diese qualitativen Einsichten ebnen wiederum den Weg für das Verständnis komplizierterer Gleichungen.

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Literatur

  1. 1.
    Für Einprozessor-Rechner ist die Bewertung verschiedener Methoden hinsichtlich der angegebenen Kriterien recht einfach: Es genügt entweder a priori oder durch einen Testlauf die Anzahl benötigter arithmetischer Operationen zu bestimmen. Im Zeitalter des Parallelrechnens ist das Problem komplexer. Die Qualität einer Methode hängt auf Parallelrechnern davon ab, wie weit sie mehrere verfügbare Prozessoren ausnutzen kann.Google Scholar
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    Man kann hier jede nicht verschwindende Konstante wählen. Vgl. die analoge Diskussion im kontinuierlichen Fall auf Seite 91.Google Scholar
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    Tatsächlich konvergieren die Fourierkoeffizienten für k gegen Unendlich gegen Null. Dies folgt aus der Besselschen Ungleichung, die wir weiter unten im Kapitel 8 betrachten. Hier genügt die Beschränktheit der Koeffizienten.Google Scholar
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    Hier stellt sich die Frage, warum wir plötzlich komplexe Funktionen benötigen. Bisher waren ja alle auftretenden Größen reell. Machen Sie sich deshalb keine allzu großen Sorgen. Die Einführung komplexer Variablen dient hier nur der Vereinfachung der Rechnungen. Man kann alternativ direkt mit den Sinus— und Cosinus—Funktionen arbeiten oder beide Fälle gleichzeitig über komplexe Exponentialfunktionen behandeln.Google Scholar
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    Unter dem Einfrieren von Koeffizienten verstehen wir deren Approximation durch Konstanten. Natürlich ist diese Vorgehensweise nur lokal sinnvoll. Daher führt das Einfrieren der Koeffizienten oft zu einer ganzen Familie von Problemen mit konstanten Koeffizienten.Google Scholar
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    Die Technik der Linearisierung kombiniert mit dem lokalen Einfrieren der Koeffizienten erlaubt die Analyse erstaunlich schwieriger Probleme. Eine hervoragende Einführung in dieses Gebiet wird in einem Buch von Kreiss und Lorenz [17] gegeben. Eine ausführliche Diskussion des praktischen Nutzens der von Neumannschen Methode für kompliziertere Probleme findet man in einem Buch von Godunov und Ryabenkii [10].Google Scholar
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    Man mag denken,dass mit den leistungsstarken modernen Computern solche Aspekte weniger wichtig geworden sind. Dies ist nicht der Fall. Wir streben immer nach höherer Genauigkeit und komplexeren Modellen, so dass unsere Wünsche die aktuellen Computerkapazitäten stets um ein Vielfaches übersteigen.Google Scholar
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  14. 15.
    Wir werden im Abschnitt 6.3.2, Seite 189 für die durch dieses Schema erzeugte numerische Approximation der Lösung die Stabilität, präziser ein Maximumprinzip untersuchen.Google Scholar
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    In Kapitel 2 haben wir die Schrittweite in x-Richtung h genannt. Entsprechend haben wir das innere Produkt mit einem Index h versehen. Hier haben wir es mit zwei Gitterparametern Δx und Δt zu tun und verwenden als Index für das innere Produkt das Symbol Δ.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002

Authors and Affiliations

  • Aslak Tveito
    • 1
  • Ragnar Winther
    • 1
  1. 1.Institut für InformatikUniversität OsloOsloNorwegen

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